发布时间 : 星期二 文章2021高考数学一轮复习第4章三角函数解三角形第4节函数y=Asinωx+φ的图像及三角函数模型的简单应用.教学更新完毕开始阅读4545926c393567ec102de2bd960590c69ec3d811
π?? 已知函数f(x)＝3sin?2ωx＋?(ω＞0)的图像与x轴相邻两个交点的距离3??
π
为. 2
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若将f(x)的图像向左平移m(m＞0)个单位长度得到函数g(x)的图像恰好经过点
?－π，0?，求当m取得最小值时，g(x)在?－π，7π?上的单调递增区间． ?3??612?????
π
[解] (1)函数f(x)的图像与x轴相邻两个交点的距离为，
2π2π
得函数f(x)的最小正周期为T＝2×＝，得ω＝1，
22ωπ??故函数f(x)的解析式为f(x)＝3sin?2x＋?. 3??
(2)将f(x)的图像向左平移m(m＞0)个单位长度得到函数g(x)＝3sin?2
?
?
ππ???π? x＋m＋??＝3sin?2x＋2m＋?的图像，根据g(x)的图像恰好经过点?－，0?，
3?
?3??
3
?
π?π??2π?可得3sin?－＋2m＋?＝0，即sin?2m－?＝0，
3?3??3?πkππ
所以2m－＝kπ(k∈Z)，m＝＋(k∈Z)，
326
2π?π?因为m＞0，所以当k＝0时，m取得最小值，且最小值为.此时，g(x)＝3sin?2x＋?.
3?6?2π?π11π??π7π?因为x∈?－，?，所以2x＋∈?，.
6?3?3?612??
π?2π?ππ??π
当2x＋∈?，?，即x∈?－，－?时，g(x)单调递增，
12?3?32??62π?3π11π??5π，7π?时，g(x)单调递增．
当2x＋∈?，，即x∈?1212?6?3?2???
π??5π7π??π7π??π，综上，g(x)在区间?－，?上的单调递增区间是?－，－?和?.
12??1212??612??6?
研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和
数形结合思想进行解题．
1.(2019·天津高考)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω ＞0，|φ|＜π)是奇函数，将y＝f(x)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标
?π??3π?不变)，所得图像对应的函数为g(x)．若g(x)的最小正周期为2π，且g??＝2，则f??
?4??8?
＝( )
A．－2 C．2
B．－2 D．2
C [∵f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数， ∴φ＝kπ，k∈Z，又|φ|＜π，∴φ＝0，∴
ω2π?ω?f(x)＝Asin ωx，则g(x)＝Asin?x?.由g(x)的最小正周期T＝2π，得＝＝1，∴ω2T?2?
π2?π?＝2.又g??＝Asin ＝A＝2，∴A＝2，
42?4?
∴f(x)＝2sin 2x， ∴f?
?3π?＝2sin 3π＝2，故选C.]
?4?8?
π??2．(2019·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝sin?ωx＋?(ω＞0)，已知f(x)在[0,2π]有且仅
5??有5个零点．下述四个结论：
①f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点；②f(x)在(0,2π)有且仅有2个极小值点；③
f(x)在?0，?单调递增；④ω的取值范围是?，?.
10510
??
π?
?
?1229???
其中所有正确结论的编号是( ) A．①④ C．①②③
B．②③ D．①③④
D [如图，根据题意知，xA≤2π＜xB，根据图像可知函数f(x)在(0,2π)有且仅有3个24π
极大值点，所以①正确；但可能会有3个极小值点，所以②错误；根据xA≤2π＜xB，有
5ω29π1229ππωππ?π?≤2π＜，得≤ω＜，所以④正确；当x∈?0，?时，＜ωx＋＜＋，5ω51055105?10?1229ωππ49ππ?π?因为≤ω＜，所以＋＜＜，所以函数f(x)在?0，?单调递增，所以③正5101051002?10?确．
]
课外素养提升⑤ 逻辑推理与数学运算——三角函数中ω的确定方法
数学运算是解决数学问题的基本手段，通过运算可促进学生思维的发展；而逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式．运算和推理贯穿于探究数学问题的始终，可交替使用，相辅相成．
三角函数的周期T与ω的关系
【例1】 为了使函数y＝sin ωx(ω＞0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为( )
A．98π 199
C．π
2
197
B．π
2D．100π
11971972π
B [由题意，至少出现50次最大值即至少需用49个周期，所以T＝·≤1，
444ω197
所以ω≥π.]
2
2π
[评析] 解决此类问题的关键在于结合条件弄清周期T＝与所给区间的关系，从而
ω建立不等关系．
三角函数的单调性与ω的关系
?π2π?【例2】 若f(x)＝2sin ωx(ω＞0)在区间?－，?上是增函数，则ω的取值范
3??2
围是________．
?0，3? [法一：因为x∈?－π，2π?(ω＞0)，
?4??23?????
所以ωx∈?－
?ωπ，2πω?，
23???
?π2π?因为f(x)＝2sin ωx在?－，?上是增函数，
3??2
??
所以?2ππ
ω≤，ω＞0，??32
ππ－ω≥－，22
3
故0＜ω≤.
4
法二：画出函数f(x)＝2sin ωx(ω＞0)的图像如图所示．
?π2π?要使f(x)在?－，?上是增函数，
3??2
ππ－≤－，??2ω2需?2ππ??3≤2ω3即0＜ω≤. 4
(ω＞0)，
ππ
法三：由－＋2kπ≤ωx≤＋2kπ(k∈Z)得
22－
π2kππ2kπ＋≤x≤＋(k∈Z)， 2ωω2ωω故f(x)的单调递增区间是?－
?π＋2kπ，π＋2kπ?(k∈Z)，
??2ωω2ωω?
?π2π??π2kπ，π＋2kπ?(k∈Z，ω＞0)， 由题意?－，???－＋3??2ωω2ωω??2?
ππ
－≤－，??2ω2
从而有?π2π
??2ω≥3，
3
即0＜ω≤.]
4
[评析] 根据正弦函数的单调递增区间，确定函数f(x)的单调递增区间，根据函数f(x)
?π2π?＝2sin ωx(ω＞0)在区间?－，?上单调递增，建立不等式，即可求ω的取值范围．
3??2
2??【例3】 (1)已知f(x)＝sin ωx－cos ωx?ω＞?，若函数f(x)图像的任何一条对
3??称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间(π，2π)，则ω的取值范围是________．(结果用区间表示)
?ππ?(2)已知函数f(x)＝2sin ωx在区间?－，?上的最小值为－2，则ω的取值范围是
?34?
________．
??3??37?(1)?，? (2)?ω?ω≤－2或ω≥?2??48???
[(1)f(x)＝sin ωx－cos ωx＝2
π??sin?ωx－?，
4??
ππ3πkπ
令ωx－＝＋kπ(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)．
424ωω3π3
当k＝0时，≤π，即≤ω，
4ω43ππ7
当k＝1时，＋≥2π，即ω≤.
4ωω8