发布时间 : 星期五 文章2020年高考数学复习：椭圆问题中最值得关注的基本题型更新完毕开始阅读457eda4929160b4e767f5acfa1c7aa00b52a9d77
由Δ＞0，可得m2＜4＋16k2，① 4m2－16
则有x1＋x2＝－，x1x2＝. 22
1＋4k1＋4k
8km
4所以|x1－x2|＝
16k2＋4－m2
. 1＋4k2
因为直线y＝kx＋m与y轴交点的坐标为(0，m)， 1
所以△OAB的面积S＝|m||x1－x2|
2＝216k2＋4－m2|m|1＋4k22
2＝
?16k2＋4－m2?m2
＝2
1＋4k2m2
?4－m?m2
. ?1＋4k2?
??1＋4k2
设
＝t，
1＋4k2
将y＝kx＋m代入椭圆C的方程， 可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0， 由Δ≥0，可得m2≤1＋4k2.② 由①②可知0＜t≤1， 因此S＝2
?4－t?t＝2
－t2＋4t，
故S≤23，
当且仅当t＝1，即m2＝1＋4k2时取得最大值23. 由(ⅰ)知，△ABQ面积为3S， 所以△ABQ面积的最大值为63.
22??a＋b＝2b，
变式训练2 (1)解 由已知可得?
22
??2c＝2a－b＝4，
解得a2＝6，b2＝2，
x2y2
所以椭圆C的标准方程是＋＝1.
62
(2)①证明 由(1)可得F的坐标是(－2,0)， 设T点的坐标为(－3，m)，
则直线TF的斜率kTF＝＝－m.
－3－?－2?1
当m≠0时，直线PQ的斜率kPQ＝，
m直线PQ的方程是x＝my－2.
当m＝0时，直线PQ的方程是x＝－2，也符合x＝my－2的形式.
m－0
??x＝my－2，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得?x2y2
??6＋2＝1.
消去x，得(m2＋3)y2－4my－2＝0， 其判别式Δ＝16m2＋8(m2＋3)>0， －24m
所以y1＋y2＝2，y1y2＝2，
m＋3m＋3
－12
x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝2.
m＋3
－62m
所以PQ的中点M的坐标为(2，2). m＋3m＋3m
所以直线OM的斜率kOM＝－.
3m
又直线OT的斜率kOT＝－，
3
所以点M在直线OT上，因此OT平分线段PQ. ②解 由①可得|TF|＝|PQ|＝＝
m2＋1，
?x1－x2?2＋?y1－y2?2
?m2＋1?[?y1＋y2?2－4y1y2]
2
＝
?m＋1?[?2?－4·2] m＋3m＋3
4m
2
－2
24?m2＋1?＝.
m2＋3|TF|所以＝|PQ|＝
22
1?m＋3?· 24m2＋1
14·?m2＋1＋2＋4?≥ 24m＋1
13
×?4＋4?＝. 243
4|TF|
当且仅当m2＋1＝2，即m＝±1时，等号成立，此时取得最小值.
|PQ|m＋1|TF|
所以当最小时，T点的坐标是(－3,1)或(－3，－1).
|PQ|例3 解 设弦的两端点分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)， MN的中点为R(x，y)，
222
则x21＋2y1＝2，x2＋2y2＝2，
两式相减并整理可得， y1－y2x1－x2将
＝－x
＝－，①
2y2?y1＋y2?x1＋x2
y1－y2
＝2代入式①，
x1－x2
得所求的轨迹方程为x＋4y＝0(－2 c5c21 变式训练3 解 (1)由已知得b＝4，且＝，即2＝， a5a5a2－b21 ∴2＝，解得a2＝20， a5x2y2 ∴椭圆方程为＋＝1. 2016 则4x2＋5y2＝80与y＝x－4联立， 40 消去y得9x2－40x＝0，∴x1＝0，x2＝， 9∴所求弦长|MN|＝ 1＋12|x2－x1|＝ 402 . 9 (2)如图，椭圆右焦点F的坐标为(2,0)，设线段MN的中点为Q(x0，y0)， 由三角形重心的性质知 →→BF＝2FQ， 又B(0,4)，∴(2，－4)＝2(x0－2，y0)，故得x0＝3，y0＝－2， 即得Q的坐标为(3，－2). 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则x1＋x2＝6，y1＋y2＝－4， 22x1y1x2y222 且＋＝1，＋＝1， 20162016 ?x1＋x2??x1－x2??y1＋y2??y1－y2?以上两式相减得＋＝0， 2016y1－y24x1＋x2466 ∴kMN＝＝－·＝－×＝， 5y1＋y25－45x1－x26 故直线MN的方程为y＋2＝(x－3)， 5即6x－5y－28＝0. 高考题型精练 c12x2y2 1.B [因为e＝＝，y＝8x的焦点为(2,0)，所以c＝2，a＝4，故椭圆方程为＋＝1，将 a21612x＝－2代入椭圆方程，解得y＝±3，所以|AB|＝6.] 2.A [由e＝3c3得＝.① 3a3 又△AF1B的周长为43， 由椭圆定义，得4a＝43，得a＝3， 代入①得c＝1，∴b2＝a2－c2＝2， x2y2 故C的方程为＋＝1.] 32 3.D [如图所示，设以(0,6)为圆心，以r为半径的圆的方程为x2＋(y－6)2＝r2(r>0)，与椭圆方