发布时间 : 星期日 文章广东省2019届普通高等学校招生全国统一考试文科数学模拟(一)试题(含解析)更新完毕开始阅读4599d6ab48fe04a1b0717fd5360cba1aa9118c4c
求线性回归方程的方法，属于常考题型. 20.已知点
，
都在椭圆：
上.
（1）求椭圆的方程； （2）过点若直线
与
的直线与椭圆交于不同的两点，（异于顶点），记椭圆与轴的两个交点分别为，，交于点，证明：点恒在直线
；（2）见解析.
上.
【答案】（1）【解析】 【分析】 （1）把点
，
代入椭圆方程，得即可；
（2）设程，得
，，联立得，，联立直线和直线的方
，把韦达定理代入化简即可.
【详解】（1）由题意得，得，故椭圆的方程为.
（2）由题意可设直线的方程为联立
整理得
，
.
，.
所以则
由题意不妨设直线
的方程为
，.① ，
，
，则直线.
的方程为，
联立整理得，
所以
把①代入上式，得当
时，可得
，当上.
.
时，易求
，即
， 不符合题意.
综上，故点恒在直线
【点睛】本题考查了椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，也考查了韦达定理的应用，属于中档题.
21.已知函数（1）若曲线（2）当
在
时，证明：
. 处的切线与直线
.
垂直，求该切线的方程；
【答案】（1）【解析】 【分析】 （1）利用函数（2）对由
；（2）详见解析.
的切线与直线求导，得
转化为，令
， 设在
垂直，得斜率为
上单调递减，在
成立，因为，对
，且，即可得切线方程；
，
等价于
上单调递增，所以，所以
求导得单调性，所以
即可成立.
【详解】（1）因为曲线所以曲线又因为（2）因为令则故
等价于
因为设令则故当即
时，
，从而当.
在，所以
，则，解得上单调递增，在
. 时，
，
等价于. ；令
上单调递减.
，解得
，
在
，解得在
在
处的切线与直线
.
. 垂直，
处的切线的斜率为
在，所以
；令
，所以曲线处的切线方程为
，
，解得
上单调递增.
，
上单调递减，在
.
，即
.
.
【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性和最值，考查了利用导数研究不等式恒成立问题，属于中档题.
（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.在平面直角坐标系任意一点，点为
中，曲线的参数方程为
（为参数），已知点
，点是曲线上
的中点，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求点的轨迹的极坐标方程； （2）已知直线：【答案】（1）【解析】 【分析】 （1）设
化为极坐标即可； （2）把直线：联立
化成极坐标方程为
，得
，设
，
，因为
即可.
，得
，即
，
，
，且
，由M为
的中点，得x=
，y=
，整理得
，
与曲线交于
；（2）
两点，若
.
，求的值.
，代入
【详解】（1）设，.且点，由点为的中点，所以整
理得
化为极坐标方程为（2）设直线：联立
.即
.
的极坐标方程为
整理得
，
.设，.
，因为，所以，即.
则解得.
所以，则.
【点睛】本题考查了相关点代入法求轨迹的方法，极坐标方程的应用，属于中档题. 23.已知函数f（x）＝|x﹣a|+2|x+1|． （1）当a＝2时，解不等式f（x）＞4．
（2）若不等式f（x）＜3x+4的解集是{x|x＞2}，求a的值． 【答案】（1）{x|x＜﹣，或 x＞0}；（2）【解析】 【分析】
（1）分类讨论，去掉绝对值，化为与之等价的三个不等式组，求得每个不等式组的解集，再取并集即可． （2）由题意可得，x＝2是方程f（x）＝3x+4的解，即|2﹣a|+6＝6+4，求得a＝6，或 a＝﹣2．检验可得结论． 【详解】（1）当a＝2时，不等式f（x）＞4，即|x﹣2|+2|x+1|＞4， ∴①
，或 ②
，或 ③
．
.
解①求得x＜﹣，解②求得x＞0，解③求得x≥2， 故原不等式的解集为{x|x＜﹣，或 x＞0}． （2）不等式f（x）＜3x+4，即|x﹣a|+2|x+1|＜3x+4，
∵不等式f（x）＜3x+4的解集是{x|x＞2}，故x＝2是方程f（x）＝3x+4的解， 即|2﹣a|+6＝6+4，求得a＝6，或 a＝﹣2．
当a＝6时，求得f（x）＜3x+4的解集是{x|x＞2}，满足题意；
当a＝﹣2时，求得f（x）＜3x+4的解集不是{x|x＞2}，不满足题意，故a＝﹣2应该舍去． 综上可得，a＝6．
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，转化思想与分类讨论思想的综合应用，属于中档题．