发布时间 : 星期五 文章2020版高考数学大一轮复习 第十一章 推理与证明、算法、复数专题探究课六学案 文 新人教A版更新完毕开始阅读459e3ada17fc700abb68a98271fe910ef02dae2c
2019年
专题探究课六
高考导航 1.概率与统计是高考中相对独立的一块内容，处理问题的方式、方法体现了较高的思维含量.该类问题以应用题为载体，注重考查学生的应用意识及阅读理解能力、分类讨论与化归转化能力；2.概率问题的核心是概率计算，其中事件的互斥、对立是概率计算的核心.统计问题的核心是样本数据的获得及分析方法，重点是频率分布直方图、茎叶图和样本的数字特征.统计与概率内容相互渗透，背景新颖.
热点一 统计与统计案例(教材VS高考)
以统计图表或文字叙述的实际问题为载体，通过对相关数据的统计分析、抽象概括，作出估计、判断.常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、概率等知识交汇考查，考查学生的数据处理能力与运算能力及应用意识.
【例1】 (2016·全国Ⅲ卷)如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图.
注：年份代码1～7分别对应年份2008～2014.
(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量. 附注：
7
7
7
参考数据：∑yi＝9.32，∑tiyi＝40.17，i＝1
i＝1
n－
∑ （yi－y）＝0.55，7≈2.646.
i＝1
－
－
2
∑ （ti－t）（yi－y）
参考公式：相关系数r＝
i＝1n∑ （ti－t）∑ （yi－y）
i＝1
^
^
^
－
n2
，
－
2
i＝1
回归方程y＝a＋bt中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
2019年
n^
∑ （ti－t）（yi－y）
－－
b＝
i＝1
n∑ （ti－t）
i＝1
－
，a＝y－bt.
2
^－
^－
解 (1)由折线图中数据和附注中参考数据得
7
－
7
－2
t＝4，∑ (ti－t)＝28，
i＝1
7
－
－
7
∑（yi－y）＝0.55.
i＝17－
－2
∑(ti－t)(yi－y)＝∑tiyi－t∑yi＝40.17－4×9.32＝2.89，
i＝1
i＝1
i＝1
r≈
2.89
≈0.99.
2×2.646×0.55
因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系.
7
∑ （ti－t）（yi－y）^9.322.89i＝1－
(2)由y＝≈1.331及(1)得b＝＝≈0.103， 7
728－2
∑ （ti－t）
i＝1
^
－
^－
－－
a＝y－bt≈1.331－0.103×4≈0.92.
所以y关于t的回归方程为y＝0.92＋0.10t.
将2016年对应的t＝9代入回归方程得y＝0.92＋0.10×9＝1.82. 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨.
教材探源 1.本题源于教材(必修3P90例)有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表： 摄氏温度－5 /℃ 热饮杯数 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54 0 4 7 12 15 19 23 27 31 36 ^
^
(1)画出散点图；(2)从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律； (3)求回归方程；(4)如果某天的气温是2 ℃，预测这天卖出的热饮杯数.
2.(1)考题以形求数，教材是由数到形再到数；(2)考题与教材都是“看图说话，回归分析预测”，但考题中以具体数字(相关系数)说明拟合效果，突显数学直观性与推理论证的巧妙融合，进一步考查考生的数据处理能力与运算能力及应用意识，源于教材，高于教材. 【训练1】 (2017·全国Ⅰ卷)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸(单位：cm).下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：
2019年
抽取次序 零件尺寸 抽取次序 零件尺寸 －1 9.95 9 10.26 2 10.12 10 9.91 3 9.96 11 10.13 4 9.96 12 10.02 5 10.01 13 9.22 6 9.92 14 10.04 7 9.98 15 10.05 8 10.04 16 9.95 116经计算得x＝∑xi＝9.97，s＝16i＝116216116－2∑ （xi－x）＝16i＝1－1162－2（∑xi－16x）≈0.212，16i＝1∑ （i－8.5）≈18.439，∑ (xi－x)(i－8.5)＝－2.78，其中xi为抽取的第i个零件i＝1i＝1的尺寸，i＝1，2，…，16.
(1)求(xi，i)(i＝1，2，…，16)的相关系数r，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r|<0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小).
(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(x－3s，x＋3s)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查. ①从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？
②在(x－3s，x＋3s)之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差(精确到0.01).
n－
－
－
－
∑ （xi－x）（yi－y）
附：样本(xi，yi)(i＝1，2，…，n)的相关系数r＝
i＝1nn－
2
－－
，0.008
－
2
∑ （xi－x）
i＝1
∑ （yi－y）
i＝1
≈0.09.
解 (1)由样本数据得(xi，i)(i＝1，2，…，16)的相关系数
16
∑ （xi－x）（i－8.5）
－
r＝i＝116
16
－
2
∑ （xi－x）
i＝1
∑ （i－8.5）
i＝1
－2.78
≈≈－0.18. 0.212×16×18.4392
由于|r|<0.25，因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小.
(2)①由于x＝9.97，s≈0.212，由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(x－3s，x＋3s)以外.
因此需对当天的生产过程进行检查.
②剔除离群值，即第13个数据，剩下数据的平均数为
－
－
－
2019年
1
(16×9.97－9.22)＝10.02， 15
这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02.
16
∑xi≈16×0.212＋16×9.97≈1 591.134，
i＝1
222
剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为 122
(1 591.134－9.22－15×10.02)≈0.008， 15
这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为0.008≈0.09. 热点二 实际问题中的概率计算
概率应用题侧重于古典概型，主要考查随机事件、等可能事件、互斥事件、对立事件的概率.解决简单的古典概型试题可用直接法(定义法)，对于较为复杂的事件的概率，可以利用所求事件的性质将其转化为互斥事件或其对立事件的概率求解.
【例2】 (2018·石家庄调研)某出租车公司响应国家节能减排的号召，已陆续购买了140辆纯电动汽车作为运营车辆.目前我国主流纯电动汽车按续航里程数R(单位：千米)分为3类，即A类：80≤R＜150，B类：150≤R＜250，C类：R≥250.该公司对这140辆车的行驶总里程进行统计，结果如下表：
类型 已行驶总里程不超过10万千米的车辆数 已行驶总里程超过10万千米的车辆数 (1)从这140辆汽车中任取一辆，求该车行驶总里程超过 10万千米的概率；
(2)公司为了了解这些车的工作状况，决定抽取14辆车进行车况分析，按表中描述的六种情况进行分层抽样，设从C类车中抽取了n辆车. ①求n的值；
②如果从这n辆车中随机选取两辆车，求恰有一辆车行驶总里程超过10万千米的概率. 解 (1)从这140辆汽车中任取一辆，则该车行驶总里程超过10万千米的概率为P1＝20＋20＋203
＝.
1407
30＋20(2)①依题意n＝×14＝5.
140
②5辆车中已行驶总里程不超过10万千米的车有3辆，记为a，b，c； 5辆车中已行驶总里程超过10万千米的车有2辆，记为m，n.
A类 10 20 B类 40 20 C类 30 20