发布时间 : 2024/5/4 5:15:46 星期六 文章有关成绩分布与预测的数学建模更新完毕开始阅读45c1c87e3968011ca2009138

一种展开来研究学生成绩中蕴含的学习状况的信息。同时再根据综合素质评价对学生然后用相关统计理论对集对分析出的结论进行验证。

3.1 集对分析法理论基础

SPA即集对分析(Set pair Analysis)是一种着眼于对研究对象作同异反整体分析与系统层次分析相结合的一种系统分析方法,其整体性分析与层次性分析思想主要体现在集对分析中的同异反联系数：

a+bi+cj (1-1)

上,其中a称之为同一度,b称之为差异度,c称之为对立(相反)度,a∈[0,1],b∈[0,1],c∈[0,1],a+b+c=1,j=-1,i∈[-1,1],在不计i、j的值时,i、j分别作差异度与对立度的标记使用。

文献[1]指出同异反联系数a+bi+cj可以根据不同的研究对象作不同层次的展开。例如,要把b作深一层次的细分,则可以把(1-1)式展开成

a+b1i1+b2i2+??+bnin+cj (1-2) 当n=2时,由(1-2)式得

a + b1i1 + b2i2 + cj (1-3) 为应用方便起见,本文把(1-3) 式改写成

μ=a + bi + cj + dk (1-4)

并规定a∈[0,1]，b∈[0,1]，c∈[0,1]，d∈[0,1]，且a+b+c+d=1,i∈[0,1],j∈[-1,0],k=-1。在不计i 、j 、k 的值时,i 、j 、k 仅作标记使用,并称a 为同一度,b 为正差异度,c为负差异度,d 为对立(相反) 度,经以上规定的(1-4) 式称其为四元联系数。

于是,可以仿参考文献【1】中的思路讨论a 、b、c 、d 的大小关系,从而给出同异反态势排序的一种展开,见表1-1[1]。

表1-1同异反态势排序的一种展开

[1]

序号 a、b、c、d的大同异反态势名、 a、b、c、d的大小 同异反态势名、 小 序号 分级及态势序 关系 分级及态势序 关系 1 a>d,a>b,b>c,c>d 1级(1) 42 a=d,a=b,b=c,cd,a>b,b>c,c>d 2级(2) 43 a=d,a=b,bd 不成立 弱均势 3 a>d,a>b,b>c,c>d 同势 强同势 3级(3) 44 a=d,a=b,bd,a>b,b=c,c>d 4级(4) 45 a=d,a=b,bd,a>b,b=c,c=d 5级(5) 46 a=d,ac,c>d 微均势 1级(26) 4

6 a>d,a>b,b=c,cd,a>b,bd 7级(7) 8 a>d,a>b,bd,a>b,bd,a=b,b>c,c>d 1级(10) 11 a>d,a=b,b>c,c=d 2级(11) 12 a>d,a=b,b>c,cd,a=b,b=c,c>d 4级(13) 14 a>d,a=b,b=c,c=d 弱同势 不成立 15 a>d,a=b,b=c,cd,a=b,bd 5级(14) 17 a>d,a=b,bd,a=b,bd,ac,c>d 不成立 20 a>d,ac,c=d 不成立 21 a>d,ac,cd,ad 不成立 23 a>d,ad,ad,ad 2级(21) 26 a>d,ad,ab,b>c,c>d 不成立 29 a=d,a>b,b>c,c=d 不成立 30 a=d,a>b,b>c,cb,b=c,c>d 不成立 强均势 32 a=d,a>b,b=c,c=d 不成立 33 a=d,a>b,b=c,cb,bd 2级(21) 均势 35 a=d,a>b,bb,bc,c>d 不成立 38 a=d,a=b,b>c,c=d 不成立 弱均势 39 a=d,a=b,b>c,cd 不成立 41 a=d,a=b,b=c,c=d 2级(24) 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 a=d,ac,c=d 2级(27) a=d,ac,cd 4级(29) a=d,ad 5级(30) a=d,ab,b>c,c>d 不成立 ab,b>c,c=d 不成立 ab,b>c,cb,b=c,c>d 不成立 ab,b=c,c=d 微反势 不成立 ab,b=c,cb,bd 3级(33) ab,bb,bc,c>d 不成立 ac,c=d 不成立 ac,cd 2级(36) ad 4级(38) ac,c>d 1级(41) ac,c=d 2级(42) ac,cd 4级(44) ad 7级(47) a

3.2 模型建立与求解

本文中根据文献【1】中提出的以上方法，首先对学生成绩进行分档，即根据分数段划分为优、良、中、差四档。由于分组对于SPA方法的结论影响巨大，所以先对数据的均值进行了计算，得出每学期学生的平均成绩均在72-75分之间，并对90分以上人数做了统计，四个学期的人数分别为：0 ，2，1，0；人数极少，于是将90分以上的分数段归入到80分以上分数段来统计分析。即划分为80分以上（优档），70-79分（良档），60-69分（中档），

5

60分以下（差档）。

并统计出每档中人数及人数比例。分别用a,b,c,d来表示各分数段中人数比例。见下表2。并绘图见图1-1。

表1-2 各学期各分数段的人数百分比例 第一学期 第二学期 第三学期 第四学期 a（80分以上） b（70-79分） 22.55% 33.66% 21.24% 31.7% 44.93% 40.2% 49.51% 46.9% c（60-69分） 22.88% 17.97% 23.53% 17.16% d（60分以下） 9.64% 8.17% 5.72% 4.25% 采用集对论的直接分析法，根据联系度表达式（1-4）中的参量进行直接的分析： 1.以上结果可看出四个学期的各分数段的人数比例a，b，c，d都满足以下关系，即a>d,ac,c>d,从表1-1可知，四个学期均处于微同势，1级15态势序。证明学生总体的学习状况都处于微同势这一同异反态势级上。这说明这4学期成绩的态势相同，学生成绩变化幅度不大，比较稳定。

2.取对立度系数k为-1。差异度b代表良等级的人数比例，由于这部分人如果通过努力成绩获得提高可进入到优档，同时要是学习退步成绩进入中档的可能远大于进入差档，所以取i=0.5，b成为正差异度。同理，差异度c代表中等级的人数比例，由于这部分人如果学习退步成绩会进入到差档，同时要是学习退步成绩进入良档的可能远大于进入优档，所以取i=-0.5，c成为负差异度。根据表达式（1-4）分别计算四个学期的联系度表达式如下：

μ1=0.2255+(0.4493/2)-(0.2288/2)-0.0964=0.2393 μ2=0.3366+(0.402/2) -(0.1797/2)-0.0817=0.3660 μ3=0.2124+(0.4951/2)-(0.2353/2)-0.0572=0.2851 μ4=0.317 +(0.469/2) -(0.1716/2)-0.0425=0.4232

根据以上结果可以得出结论：数据在稳定中存在波动。即第二学期学生总体学习情况明显好于第一学期（μ2>μ1），同时由图1可见，第二学期里，良、中、差三档的学生都比第一学期减小，只有优档学生人数增加，说明在第二学期中每个档次的人都有在进步，总体学生学习情况良好。而第三学期学生总体学习情况却差于第二学期（μ2>μ3），同时由图1可见，第三学期里，优，差两档的学生都比第二学期减小，中良两档学生人数增加，说明在第三学期中可能由于骄傲情绪出现，部分第二学期处于优档的学生成绩下滑入良档，同时差

6

档学生人数减少，说明部分差档学生通过努力成绩得到提高，进入中档，总体来说，优良学生的学习状况不如第二学期，但差同学在进步。 在第四学期中学生的总体学习情况明显好于第三学期（μ4>μ3），第四学期里，良、中、差三档的学生都比第三学期减小，只有优档学生人数增加，说明在第四学期中每个档次的人都有在进步，使优档人数增多，总体学生学习情况良好。表明从总体上说，第三学期成绩存在下滑趋势，引起了教师和学生的重视，于是在第四学期成绩有所回升提高；从第一学期到第四学期，不及格人数一直在下降。说明基础比较差的学生在四个学期内一直在努力减小与班级其他同学成绩之间的差距。

各学期各分数段人数比例图0.60.50.4第一学期第二学期第三学期第四学期人数比例0.30.20.1080分以上70-79分分数段60-69分60分以下图1-1 各学期各分数段的人数比例图

3.3 用统计理论对集对分析结果进行检验

众所周知 ,按照数理统计学的基本原理 ,理想的考试成绩的分布应该是正态分布，但是不论是采用以Jarque-Bera检验为基础的Matlab函数jbtest，还是构造pearson统计量采用卡方检验的假设检验方法,都说明四个学期的学生成绩分布均不符合正态分布曲线。

由于成绩分布不属于正态分布，根据文献【2】中“偏度、峰度检验法”理论，可计算出四个学期的偏态值和峰值。并通过文献【2】中可得出峰度和偏度服从正态分布的接受域分别为：

?6(n?2)6(n?2)?g1???z?,z? ??/4??/4? （1-5）(n?1)(n?3)(n?1)(n?3)???24n(n?2)(n?3)3n?324n(n?2)(n?3)3n?3? （1-6） g2???z??,z????/422??/4?(n?1)(n?3)(n?5)n?1(n?1)(n?3)(n?5)n?1??7