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建模题目：兰州交通大学
招生人数预测
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兰州交通大学招生人数的预测模型
摘要
大学招生人数的多少是一个极其复杂的非线性过程，它受到各种因素的影响，不仅呈现出非平稳动态随机变化特性，而且各因素间的关系也比较难以确定，因此用简单的线性函数来进行确定性描述结果一般不会太理想。本论文根据兰州交通大学1999-2014年16年的招生人数的相关数据，采用了时间序列分析法确立了招生人数的分析模型，对兰州交通大学未来10年的招生人数进行了分析和预测。
时间序列是指同一种现象在不同时间上的相继观察值排列而成的一组数字序列。时间序列预测方法是通过时间序列的历史数据揭示现象随时间变化的规律，并将这种规律延伸到未来，从而对该现象的未来做出预测。
首先，本论文对兰州交通大学1999-2014年的招生人数进行了平稳性检验，利用SPSS软件画出了序列的时序图，从时序图上，我们可以看到：从1999-2014年，兰州交通大学的招生人数呈现先快速增长后又趋于稳定的趋势，说明该序列不是一个平稳的时间序列。其次，我们又进行了纯随机性检验，从其序列的自相关图和偏自相关图可以看出该序列不是一个白噪声序列。
对于招生人数序列的非确定性分析，我们根据序列的非平稳性进行了2阶差分，2阶差分后的时序图显示其差分后的序列在均值附近比较稳定地波动。又通过SPSS画出二阶差分后的自相关图和偏自相关图，自相关图显示出5阶截尾的性质，而偏自相关图显示出显著的不截尾性质，所以本论文建立了ARIMA(0,2,5)模型，并利用SAS对未来10年兰州交通大学的招生人数作出了预测，发现未来10年兰州交通大学的招生人数趋于稳定，波动不大。
对于招生人数序列的确定性分析，我们分别采用了趋势拟合法和平滑法进行建模，但由于历史数据较少，所以趋势拟合法的效果不显著；不过通过平滑法中的移动平均法，我们得到了未来10年兰州交通大学的招生人数，又通过指数平滑法得到了兰州交通大学未来10年招生人数的趋势，与ARIMA(0,2,5)模型的结果基本一致。
关键词：时间序列，白噪声序列，ARIMA模型，平滑法，SPSS，SAS
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一、 问题的提出
自从国家1999年实行本科生扩招以来，高考人数在2009年达到了历史最高的1050万人，为了更好地进行招生，兰州交通大学需要对未来10年的招生人数做一个预测。
现将兰州交通大学1999-2014年16年的招生人数公布如下：
表1：兰州交通大学1999-2014年的招生人数 年份 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 招生人数 2034 年份 2007 2312 2008 5882 2678 2009 5803 3009 2010 5240 3616 2011 5554 4301 2012 5787 5174 2013 5754 5500 2014 5630 招生人数 5788 试通过以上数据的分析建立适当的数学模型对兰州交通大学未来10年的招生人数进行预测。
二、问题的分析
兰州交通大学1999-2014年的招生人数序列很容易让我们想到利用统计学中的时间序列分析法进行求解。时间序列分析法是先对实测数据建立一定的数据模型，并在此基础上进一步分析随机数据的统计特性。时间序列分析法虽然方便实用、可操作性强，但想要建立精度高的时间序列不仅要求对模型参数进行最佳的估计，而且模型阶数也要合适。
时间序列由于受到各种偶然或随机因素的影响，具有动态随机变化的性质。从表面上看杂乱无章、毫无规律，但实际上却具有一定的统计规律性。因此，要想对所研究的时间序列建立合适的模型，首先必须了解时间序列的基本统计特性，从而确保时间序列模型的可靠性，并满足一定的精度要求。一般可以从时间序列的平稳性、纯随机性和季节性三个方面去考虑，本论文做的是兰州交通大学招生人数的序列，所以不考虑季节性。
首先，我们对兰州交通大学1999-2014年招生人数序列进行了平稳性检验和纯随机性检验，这两个重要的检验称为序列的预处理。对于平稳性检验，我们可以利用SPSS软件画出其序列的时序图，通过时序图我们很容易得到该序列是否具有显著的平稳性。在对纯随机性检验的过程中，我们可以利用SPSS软件画出其序列的自相关图和偏自相关图，由于纯随机性序列意味着序列值彼此之间没有相关性，即过去的行为对将来的发展没有丝毫影响，所以通过序列的自相关图我们可以很容易得到该序列是否具有纯随机性。
对于非平稳的时间序列，我们可以运用差分运算?xt?xt?xt?1构造平稳序列，对于差分后的序列，我们要检验它的纯随机性，对于平稳的白噪声序列我们可以建立ARIMA(p,d,q)模型，对于平稳的非白噪声序列我们可以建立ARMA(p,q)模型。根据经验我们知道，招生人数模型应该是一个非平稳的时间序列，所以我
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们可以借助SPSS先对兰州交通大学的招生人数序列进行差分运算，再检验它的纯随机性，根据差分后序列的自相关图和偏自相关图判断差分后的序列是否是一个白噪声序列，进而利用SAS构造出ARIMA(p,d,q)模型。
除了非确定性因素影响时间序列之外，时间序列还受到一些确定性因素的影响，如长期趋势、循环波动、季节性变化、随机波动。我们可以采用趋势拟合法和平滑法进行确定性分析，对于趋势拟合法，如果长期趋势呈现出线性特征，我们可以用线性模型来拟合；如果长期趋势呈现出非线性特征，我们可以用曲线模型来拟合，如二次型、指数型、S型，进而挑出拟合效果最好的曲线模型；至于平滑法有移动平均法和指数平滑法两种方法，移动平均法其实就是利用前m期的平均值作为该期的预测数据，而指数平滑法可以更好地利用时间序列的历史数据对其未来进行预测，它得出的的结论应该与ARIMA模型得到的结论基本一致。
三、基本假设
1、假设兰州交通大学的招生人数不受经济因素及社会因素影响； 2、假设兰州交通大学的招生人数不受突发事件的影响； 3、假设兰州交通大学的招生人数数据可靠。
四、符号说明
Xt-----------------------兰州交通大学招生人数序列
n-------------------------序列观测期数 m-------------------------指定延迟期数 LB------------------------检验统计量
??k-----------------------延迟非零期的样本自相关系数 ?------------------------显著性水平
?xt-----------------------一阶差分 ?pxt----------------------p阶差分
?kxt-----------------------k步差分
B--------------------------延迟算子
ARMA(p,q)------------------自回归移动平均模型 ARIMA(p,d,q)---------------求和自回归移动平均模型
--------------------平移可逆ARMA（p,q）模型的自回归系数多项式 ?（B）--------------------平移可逆ARMA（p,q）模型的移动平滑系数多项式 ?（B）