发布时间 : 星期日 文章高考数学压轴题集锦——导数及其应用更新完毕开始阅读45d892d15bcfa1c7aa00b52acfc789eb162d9e14
参考答案
1.（1）函数f(x)?lnx?由f(x)?lnx?a的定义域为(0,??). xa1ax?a，得f?(x)??2?. 2xxxx①当a?0时，f?(x)?0恒成立，函数f(x)在(0,??)上单调递增， 又f(1)?ln1?a?a?0,x???,f(x)???， 所以函数f(x)在定义域(0,??)上有1个零点.
②当a?0时，则x?(0,a)时，f?(x)?0;x?(a,??)时，f?(x)?0. 所以函数f(x)在(0,a)上单调递减，在(a,??)上单调递增. 当x?a[f(x)]min?lna?1.当lna?1?0，即0?a?所以函数f(x)在定义域(0,??)上有2个零点. 综上所述实数a的取值范围为(??,]. 另解：函数f(x)?lnx?由f(x)?lnx?1时，又f(1)?ln1?a?a?0， e1ea的定义域为(0,??). xa，得a??xlnx. x令g(x)??xlnx，则g?(x)??(lnx?1).
当x?(0,)时，g?(x)?0；当x?(,??)时，g?(x)?0. 所以函数g(x)在(0,)上单调递增，在(,??)上单调递减. 故x?1e1e1e1e11111时，函数g(x)取得最大值g()??ln?. eeeee1， e因x???,f(x)???，两图像有交点得a?综上所述实数a的取值范围为(??,]. （2）要证明当a?即证明当x?0,a?1e2?x时，f(x)?e， e2a?x?x时，lnx??e，即xlnx?a?xe. ex 9
令h(x)?xlnx?a，则h?(x)?lnx?1. 当0?x?11时，f?(x)?0；当x?时，f?(x)?0. ee1e1e所以函数h(x)在(0,)上单调递减，在(,??)上单调递增. 当x?11时，[h(x)]min???a. ee211时，h(x)???a?.① eee，则??(x)?e?x于是，当a?令?(x)?xe?x?xe?x?e?x(1?x).
当0?x?1时，f?(x)?0；当x?1时，f?(x)?0. 所以函数?(x)在(0,1)上单调递增，在(1,??)上单调递减. 当x?1时，[?(x)]min?1. e1.② e于是，当x?0时，?(x)?显然，不等式①、②中的等号不能同时成立. 故当a?
2?x时，f(x)?e. ea2x2?a,x?0 2.（Ⅰ）f?(x)?2x??xx(1)当a?0时，f?(x)?0，f(x)在?0,???上单调递增， (2)当a?0时，f?(x)?0得x?a 有 2
??a?a????? 所以a?0时，f(x)的单调减区间是?0,2?，单调增区间是?2,???????(Ⅱ) g(x)?x?2lnx?bx
假设y?g(x)在x0处的切线能平行于x轴.
2 10
∵g?(x)?2x?2?b,?x?0? x由假设及题意得：
g(x1)?x1?2lnx1?bx1?0 g(x2)?x2?2lnx2?bx2?0
22x1?x2?x0 2g?(x0)?2x0?由-得，?x212?b?0 ④ x0?x2?2?lnx1?lnx2??b?x1?x2??0
2?x1`x2?2x0 即b?x1?x22lnx1?2x12?x1?x2?x2ln??由④⑤得，x x1x1?x22?1x22x1令x?t，
2x1?x2,?0?t?1.则上式可化为lnt?2t?2?0?t?1?，则 t?122t?2 ， t?1设函数h?t??lnt??t?1??0, 14h??t????t?t?1?2t?t?1?2所以函数h?t??lnt?2t?2(0,1)上单调递增. 在t?10?t?1时，有h?t??h?1??0，即lnt?于是，当
所以
23.（Ⅰ）f?(x)?3x?2mx?n
2t?2?0与⑥矛盾. t?1y?f(x)在x0处的切线不能平行于x轴.
由f??1??0得3?2m?n?0
??4m2?12n?0.
∴?m?3??0，得到m??3 ①
2 11
∵f?(x)?3x?2mx??2m?3???x?1??3x?2m?3?
2∴f?(x)?0，得x?1或x???1???2m?? 3?由题??1???2m???1,解得m??3② 3?
由①②得m??3
（Ⅱ）由f??1??0得3?2m?n?0
2所以f?(x)?3x?2mx??3?2m?
因为过点(0,1)且与曲线y?f(x)相切的直线有且仅有两条， 令切点是P?x0,y0?，
则切线方程为y?y0?f??x0??x?x0? 由切线过点(0,1)，所以有
1?y0?f??x0???x0?
∴1?x0?mx0??3?2m?x0?3x0?2mx0??3?2m???x0?
322??整理得2x0?mx0?1?0
32所以，关于x0的方程2x0?mx0?1?0有两个不同的实根.令h?x??2x3?mx2?1，则h?x?需有两个零点
h??x??6x2?2mx
32???所以m?0，且hx?0得x?0或x???m?由题，h?0??0,或h????0
?3??m?又因为h?0??1,所以h????0
?3?m3
?m??m?所以2????m????1?0
?3??3?32解得m??3,即为所求
4.（Ⅰ）f?(x)?2xe?xe?ex?2x
∴?2?x?0时，f??x??0,f?x?在??2,0?上单调递减；
x2xx?2? 12