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例析物理竞赛中纯电阻电路的简化和等效变换
计算一个电路的电阻，通常从欧姆定律出发，分析电路的串并联关系。实际电路中，电阻的联接千变万化，我们需要运用各种方法，通过等效变换将复杂电路转换成简单直观的串并联电路。本节主要介绍几种常用的计算复杂电路等效电阻的方法。
1、等势节点的断接法
在一个复杂电路中，如果能找到一些完全对称的点（以两端连线为对称轴），那么可以将接在等电势节点间的导线或电阻或不含电源的支路断开（即去掉），也可以用导线或电阻或不含电源的支路将等电势节点连接起来，且不影响电路的等效性。
这种方法的关键在于找到等势点，然后分析元件间的串并联关系。常用于由等值电阻组成的结构对称的电路。
【例题1】在图8-4甲所示的电路中，R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = R ，试求A、B两端的等效电阻RAB 。
模型分析：这是一个基本的等势缩点的事例，用到的是物理常识是：导线是等势体，用导线相连的点可以缩为一点。将图8-4甲图中的A、D缩为一点A后，成为图8-4乙图。
答案：RAB =
3R 。 8【例题2】在图8-5甲所示的电路中，R1 = 1Ω ，R2 = 4Ω ，R3 = 3Ω ，R4 = 12Ω ，R5 = 10Ω ，试求A、B两端的等效电阻RAB 。
模型分析：这就是所谓的桥式电路，这里先介绍简单的情形：将A、B两端接入电源，并假设R5不存在，C、D两点的电势相等。
因此，将C、D缩为一点C后，电路等效为图8-5乙
对于图8-5的乙图，求RAB是非常容易的。事实上，只要满足电路平衡。 答案：RAB =
15Ω 。 4R1R3=的关系，该桥式R2R4【例题3】在如图所示的有限网络中，每一小段导体的电阻均为R ，试求A、B两点之间的等效电阻RAB 。
【例题4】用导线连接成如图所示的框架，ABCD是正四面体，每段导线的电阻都是1?。
A 求AB间的总电阻。
2、电流分布法 设有电流I从A点流入、B点流出，应用电流分流的思想和网络中两点间不同路径等电C
压的思想，（即基耳霍夫定理），建立以网络中各支路的电流为未知量的方程组，解出各支路电流与总电流I的关系，然后经任一路径计算A、B两点间的电压
B
UABD R? UAB，再由ABI即可求出等效电阻。 B 【例题1】7根电阻均为r的电阻丝接成如图所示的网络，试
A 1
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求出A、B两点之间的等效电阻RAB。
【例题2】10根电阻均为r的电阻丝接成如图所示的网络，试求出A、B两点之间的等效电阻RAB。
【例题3】8根电阻均为r的电阻丝接成如图所示的网络，C、D之间是两根电阻丝并联而成，试求出A、B两点之间的等效电阻RAB。
电流叠加原理：直流电路中，任何一条支路的电流都可以看成是由电路中各个电源分别作用时，在此支路中产生的电流的代数和。所谓电路中只有一个电源单独作用，就是假设将其余电源均除去，但是它们的内阻仍应计及。
【例题4】“田”字形电阻网络如图，每小段电阻为R，求A、B间等效电阻。
C B A D
3、Y—△变换法
在某些复杂的电路中往往会遇到电阻的Y型或△，如图所示，有时把Y型联接代换成等效的△型联接，或把△型联接代换成等效的Y型联接，可使电路变为串、并联，从而简化计算，等效代换要求Y型联接三个端纽的电压
I11R1R22I21I1A R31R12R23I33B 2I2U12、U23、U31及流过的电流I1、I2、I3OR3I33与△型联接的三个端纽相同。
⑴将Y型网络变换到△型电路中的变换式： ⑵将△型电路变换到Y型电路的变换式： 以上两套公式的记忆方法：
△→Y：分母为三个电阻的和，分子为三个待求电阻相邻两电阻之积。 Y→△：分子为电阻两两相乘再相加，分母为待求电阻对面的电阻。
当Y形联接的三个电阻相等时，与之等效的△形联接的三个电阻相等，且等于原来的三倍；同样，当△联接的三个电阻相等时，与之等效的Y形联接的三个电阻相等，且等于原来的1/3。
【例题1】对不平衡的桥式电路，求等效电阻RAB 。 提示：法一：“Δ→Y”变换；
法二：基尔霍夫定律
1?1【例题2】试求如图所示电路中的电流I。（分别应
I用两种变换方式计算） 1?【课堂练习】分别求下图中AB、CD间等效电
阻。( 答案：0.5R; RPQ=4Ω)
4、无限网络
若
4V1?1?326?2?6?6?3?x?a?a?a?a??，
（a＞0） 所以去掉左
在求x值时，注意到x是由无限多个边第一个
a组成，
a?对
x值毫无影响，即剩余部分仍为x，这样，就可以将原式等效变换为
2
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x?a?x，即x2?x?a?0。所以
这就是物理学中解决无限网络问题的基本思路，那就是：无穷大和有限数的和仍为无穷大。
⑴一维无限网络 【例题1】在图示无限网络中，每个电阻的阻值均为R ，试求A、B两点间的电阻RAB 。 解法一：在此模型中，我们可以将“并联一个R再串联一个R”作为电路的一级，总电路是这样无穷级的叠加。在图8-11乙图中，虚线部分右边可以看成原有无限网络，当它添加一级后，仍为无限网络，即
RAB∥R + R = RAB
解这个方程就得出了RAB的值。
答案：RAB =
1?5R 。 2解法二：可以，在A端注入电流I后，设第一级的并联电阻分流为I1 ，则结合基尔霍夫第一定律和应有的比例关系，可以得出相应的电流值如图8-12所示
对图中的中间回路，应用基尔霍夫第二定律，有
(I ? I1)R + (I ? I1)解得 I1 =
5?1
I 2
I1R ? I1R = 0 I很显然 UA ? IR ? I1R = UB 即 UAB = IR + 最后，RAB =
5?11?5IR = IR 22UAB1?5 = R 。 I2【例题2】如图所示，由已知电阻r1、r2和r3组成的无穷长梯形网络，求a、b间的等效电阻Rab．（开端形）
【例题3】如图所示，由已知电阻r1、r2和r3组成的无穷长梯形网络，求a、b间的等效电阻Rab．（闭端形） ⑵双边一维无限网络
【例题4】如图所示，两头都是无穷长，唯独中间网孔上缺掉一个电阻r2，求e、f之间的等效电阻。（中间缺口形）
【例题5】如图所示，两头都是无穷长，唯独旁边缺一个电阻r2，求f、g之间的等效电阻.（旁边缺口形）
3
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【例题6】如图所示，求g、f间的等效电阻。（完整形） 小结：一维无限网络利用网络的重复性。 ⑶二维无限网络
【例题7】图为一个网格为正方形的平面无穷网络，网络的每一个节点都有四个电阻与上下左右四个节点分别相联，每个电阻大小均为R，由此，按左右、上下一直延伸到无穷远处．A和B为网络中任意两个相邻节点，试求A、B间的等效电阻RAB．
模型分析：如图，设有一电流I从A点流入，从无穷远处流出．由于网络无穷大，故网络对于A点是对称的，电流I将在联接A点的四个电阻上平均分配．这时，电阻R（指A、B两节点间的电阻）上的电流为I/4，方向由A指向B．
同理，再设一电流I从无穷远处流处，从节点B流出．由于网络无穷大，B也是网络的对称点，因此在电阻R上分得的电流也为I/4，方向也是由A指向B．
将上述两种情况叠加，其结果将等效为一个从节点A流入网络，又从节点B流出网络的稳恒电流I，在无穷远处既不流入也不流出．每个支路上的电流也是上述两种情况下各支路电流的叠加．因此，R电阻上的电流为I/2．所以A、B两节点间的电势差为：
【例题8】对图示无限网络，求A、B两点间的电阻RAB 。
【例题9】有一个无限平面导体网络，它由大小相同的正六边形网眼组成，如图所示。所有六边形每边的电阻为R0，求：
（1）结点a、b间的电阻。
（2）如果有电流I由a点流入网络，由g点流出网络，那么流过de段电阻的电流 Ide为多大。
解： （1）设有电流I自a点流入，流到四面八方无穷远处，那么必有Ic4b9a5deg867321/3电流由a流向c，有I/6电流由c流向b。再假设有电流I 由四面八方汇集b
点流出，那么必有I/6电流由a流向c，有I/3电流由c流向b。
将以上两种情况综合，即有电流I由a点流入，自b点流出，由电流叠加原理可知
Iac?III??362（由a流向c） IIIIcb???362（由c流向b）
因此，a、b两点间等效电阻
（2）假如有电流I从a点流进网络，流向四面八方，根据对称性，可以设
应该有 3IA?6IB?I 因为b、d两点关于a点对称，所以
同理，假如有电流I从四面八方汇集到g点流出，应该有 最后，根据电流的叠加原理可知 ⑷三维无限网络
【例题10】假设如图有一个无限大NaCl晶格，每一个键电阻为r，求相邻两个Na和Cl原子间的电阻。
【例题11】在图示的三维无限网络中，每两个节点之间的导体电阻均为R ，试求A、B两点间的等效电阻RAB 。
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