发布时间 : 星期一 文章《高数专升本讲义》第一至第五章更新完毕开始阅读46486adb7f1922791688e850
说句大话，只要大家紧密团结在我的周围，严格贯彻我的要求，你们根本不用再看其他任何别的参考书，只把本书中的例题看完，课后的习题做完，再演练书后的几套模拟题，真正作到心领神会，我保守地说，考个120分不成问题，就凭这一门成绩就能专升本。每年《高数》专升本的最高分都出自咱们耶鲁的学员，有140多分。我对自己很有信心，你们对自己更要有信心。
第二个误区是：有些同学对老师有不切实际的想法，完全把升本的希望放在这次培训班上，放松个人努力。自己连课本中的基本概念、主要定理及常用公式都没记住，就来听课，还指望听哪儿会哪儿。巴不得老师讲的每道题都是考试的原题，最好把考试的原卷透露给大家。这里我强调一下，我们这个培训班只是一个催化剂和推进剂，虽然参加后提升成绩的效果确实显著，但这也离不开大家自己的努力，而且主要还得靠大家努力。因此，我希望来听课的同学能做到课前预习，课后复习，切实按我的要求来。本培训班的计划学时只有36个，而正常进度下学完《微积分》至少需130个学时；况且很多同学没学过后几章。因此，我们授课时主要是针对考点训练作题，基本概念及定理如非特别复杂，堂上一般不提。我讲课时各章节安排的顺序及所用记号与同济大学版《高数》相同。 下面我们开始正式讲解.
第一章 函数 极限 连续
一．求函数的定义域
具体函数求定义域的例子就不举了. 例1.设f?x??13?x?ln?x?2?,求
（1）f?x?的定义域； （2）f?lnx?的定义域；
（3）f?x?a??f?x?a??a?0?的定义域。
解：（1）D??2,3?.（2）?e2,e3?.（3）?2?a,3?a?,?0?a???1??. 2?1?，求f?x?1?,f?lnx?,f?sinx?的定义域. 练习．设f?x?的定义域为?0， 要牢记函数的两个要素：定义域和对应法则.
例2．判断下列两组函数是否是同一函数： （1）f?x??x,g?x??二．求函数的表达式
1?x?,求f例3．设f?x???4x1?x??2x2x（;2）f?x??1,g?x??sinx?cosx.
22?x?.
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解：此种题型的常规解法是设元法，即令t?x?1x,反解得到x?x?t?,再代入原式，
得f?t??....，再将t的记号全换为x.但此法只适用于简单函数，要学会直接凑成的方法. 因为f?x???1?11??,所以，f?21x?21???xx?2???2xx??x?x??求?cosx,fcos???.
2?2???x??1x?22.
例4．设f?sin??解：要做此题，要求大家熟记几个三角恒等式。至少要记住两个倍角公式和三个
“1”公式。 因为f?sin???x??x?2x?cosx?1?2sin, ?2?2x21?cosx2??cosx.
所以，f?cos??1?2cos22??1?2.?2?x,x?0,例5．设g?x????2?x,x?0.?x2,x?0,f?x??? 求g??f?x???. ?x,x?0.?解：首先把f?x?作整体看待
g? ?2?f?x?????2?fx,fx?0?.2?x,x?0.???????三．关于函数的几种特性（重点是奇偶性的判别） 例6．设f?x?在??l,l?上有定义，证明：
g?x??f?2?f??x?,f??x?0,?2?x,x?，0?x??2f??x?为偶；而h?x??f?x??f??x?2为奇.
要记清两个知识点：（1）函数为奇或偶的必要条件是其定义域关于原点对称；如没有指明定义域，则默认为???,???.比如：f?x??x2,x???1,2?就是非奇非偶函数；
（2）奇偶函数的图形特征.
结论：f?x??g?x??h?x?，即一个定义在对称区间上的函数必表为奇+偶的形式. 例7．设x?0时，f?x??x?1?x?,且f?x?在???,???.内为奇函数，求f?x?. 解：由于f?x?在???,???.内为奇函数，
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所以，f??x???f?x?，?x????,???.
又当x?0时，f?x???f??x?????x?1???x????x?1?x?. ??所以，f?x?????x?1?x?,x?0,??x?1?x?,x?0.
关于周期函数，请大家记住一个结论。下面以例题的形式给出：
例8．设y?f?x?是定义在???,???内的以T为最小正周期的周期函数，证明：函数y?f?ax?b??a?0?是以证明：（一）首先证明
TaTa为最小正周期的周期函数.
是函数y?f?ax?b?的周期.
事实上，设F?x??f?ax?b?.(1) 因为 F?x???T???T???fax??b??????f???ax?b??T???f?ax?b??F?x?, a?a????所以，
Ta是函数F?x??f?ax?b?的周期.
Ta（二）证明
是函数y?f?ax?b?的最小正周期.（反证法）
Ta,使得对于定义域中的任意x,有
假设存在0?m? F?x?m??F??.x （2）
则对于任意的实数x,有
f?x?am????x?b???x?b????x?b??x?b?f?a??m??b???1?F??m???2?F??fa?b??????f?????????a???a????????a??a???x?.这说明am也是y?f?x?的周期，但0?am?T，这与T是y?f?x?的最小正周期相矛盾.
例9．y?sin?3x?2?的最小正周期为T?2?3.
由周期函数的定义，容易知道有下面的结论： 设f?x?,g?x?分别是以T1,T2?T1?T2?为周期的函数，且
?f?x???g?x?是以T1,T2的最小公倍数为周期的函数.
T1T2为有理数，则
例9．证明f?x??x?sinx非周期函数.
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证明：（反证）设y?x?sinx是以l?0为周期的函数.
则?x?R,f?x?l??f?x? 即x?l?sin?x?l??x?sinx.?l?sin?x?l??sinx
上式中，分别令x?0,x??，得 ?l??l?sinl??l?sin0,0.?l?，得到矛盾.
四．反函数
反函数也是个常常考察的知识点，一般是以填空题或单项选择题的形式命题.没必要举例，只提醒大家注意两点：反函数的定义域是原函数的值域；反函数的图形与原函数的图形关于直线y?x对称.
五．复合函数
两种常见题型：一是将简单函数复合成一个复杂函数，这时要注意复合的条件是后面函数的值域与前面函数的定义域的交集非空；二是将复杂函数分解简单函数（大部分是基本初等函数).要求大家下去把书中第4—6页表中简单初等函数及其特性搞熟.
例10．下列函数是否可以复合？ （1）y?lnu,u?x?1;（可以） （2）y?arcsinu,u?x2?2.（不可以） 例11．将函数y?esin21x分解.
六．函数的极限（包括数列的极限）
数列的极限部分只要求：1.给出?xn?，能观察出limxn是否存在？（精确的数
n??学定义不作要求）；2.数列极限的三个性质（经常出判断题）；3.数列的四则运算法则.4.夹逼准则；5.单调有界原理. 记住几个常用的公式：
limqn?n?0n?|q|?1?;limn??a?1?a?0?;limnn??n?1;lim1nkn???0?k?0?.
例11．求lim?n???1?2?...?n?2?n?n??. 2?解：从表面上看，是两数列差的极限，但不能直接用四则运算法则.为什么？请一块说说使用数列求极限的四则运算时应注意的三个事项. 原式=lim?n2?2?n?n???lim?12??2?1??n??n????12.
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