发布时间 : 星期四 文章高三数学一轮、二轮复习配套讲义：第8篇 第8讲 曲线与方程复习配套讲义：第10篇 第3讲 二项式定理更新完毕开始阅读464a4eea8662caaedd3383c4bb4cf7ec4bfeb67e
第3讲 二项式定理
[最新考纲]
1．能用计数原理证明二项式定理．
2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
知 识 梳 理
1．二项式定理
n1n－1n－rrn*(a＋b)n＝C0b＋?＋Crb＋?＋Cnna＋Cnananb(n∈N) 二项式定理 二项展开式 的通项公式 n－rrTr＋1＝Crb，它表示第r＋1项 na二项式系数 1n二项展开式中各项的系数C0n，Cn，?，Cn 2.二项式系数的性质 n－kkn－k(1)0≤k≤n时，Ckn与Cn的关系是Cn＝Cn.
(2)二项式系数先增后减中间项最大
nn
当n为偶数时，第2＋1项的二项式系数最大，最大值为C2n；当n为奇数时，第n＋1n＋3n－1n＋12项和2项的二项式系数最大，最大值为C2n或C2n.
012n
(3)各二项式系数和：Cn＋Cn＋Cn＋?＋Cn＝2n， 24135n－1C0. n＋Cn＋Cn＋?＝Cn＋Cn＋Cn＋?＝2
辨 析 感 悟
1．二项式定理的理解
n－rr(1)Crb是(a＋b)n的展开式中的第r项．(×) na
(2)在(1－x)9的展开式中系数最大的项是第5项和第6项．(×) ?2?(3)(教材习题改编)在?x－x?6的二项展开式中，常数项为－160.(√)
??
2．二项式系数的性质
(4)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．(√)
(5)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋?＋a1x＋a0，则a7＋a6＋?＋a1的值为128.(×) a??
x＋?n?4
(6)(·安徽卷改编)若?的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，且x3?
x??1
的系数为7，则实数a＝2.(√) [感悟·提升]
n1n－1n－rrn*1．二项式定理(a＋b)n＝C0b＋?＋Crb＋?＋Cnna＋Cnananb(n∈N)揭示二项n－rr展开式的规律，一定牢记通项公式Tr＋1＝Crb是展开式的第r＋1项，不是第na
r项，如(1)．
2．二项式系数与展开式项的系数的异同
n－rr一是在Tr＋1＝Crb中，Cr与该项的(字母)系数是两个不nan是该项的二项式系数，
同的概念，前者只指Crn，而后者是字母外的部分，前者只与n和r有关，恒为正，后者还与a，b有关，可正可负，如(2)就是混淆两个概念的区别． 二是二项式系数的最值与增减性与指数n的奇偶性有关，当n为偶数，中间一项的二项式系数最大，如(6)；当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值．
考点一 通项公式及其应用
1??
x－?5的展开式中常数项为A，则A＝【例1】 (1)(·浙江卷)设二项式?3??
x??________.
(2)(·新课标全国Ⅱ卷)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a等于( )．
A．－4 B．－3 C．－2 D．－1 解析
(1)Tr＋1＝Cr5(
x)
5－r?－
??
?
1??r＝r3?C5`x?
??1?xr55r?2655
，令2－6r＝0，得r＝3，∴
A＝－C35＝－10.
(2)(1＋ax)(1＋x)5＝(1＋x)5＋ax(1＋x)5，
12
又(1＋x)5中含有x与x2的项为T2＝C5x，T3＝C25x. 1∴展开式中x2的系数为C2C5＝5，∴a＝－1. 5＋a·
答案 (1)－10 (2)D
规律方法 (1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项． (2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解． 【训练1】 (1)(·大纲全国卷改编)(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是________．
a?6?
x－??(a>0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B＝4A，则(2)设二项式
x??a的值是________．
k4tt
解析 (1)∵(1＋x)8的通项为Ck8x，(1＋y)的通项为C4y，
kkt2222∴(1＋x)8(1＋y)4的通项为Ck8C4xy，令k＝2，t＝2，得xy的系数为C8C4＝168.
a?3?
(2)?x－?6展开式的通项Tr＋1＝(－a)rCrx6－6
2r x??
44
∴A＝(－a)2C26，B＝(－a)C6，
22由B＝4A，得(－a)4C42. 6＝4(－a)C6，解之得a＝±
又a>0，所以a＝2. 答案 (1)168 (2)2
考点二 二项式系数的性质与各项系数和
【例2】 (1)(·青岛模拟)设(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋?＋anxn，若a1＋a2＋?＋an＝63，则展开式中系数最大的项是( )． A．15x2 B．20x3 C．21x3 D．35x3
1?1?(2)若?x＋x?n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中x2的
??系数为________．
审题路线 (1)先赋值求a0及各项系数和，进而求得n值，再运用二项式系数性质与通项公式求解．
(2)根据二项式系数性质，由
26Cn＝Cn，确定
1
n的值，求出x2的系数．
解析 (1)∵(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋?＋anxn， 令x＝0，得a0＝1.
令x＝1，则(1＋1)n＝a0＋a1＋a2＋?＋an＝64，∴n＝6， 又(1＋x)6的展开式二项式系数最大项的系数最大，
33
∴(1＋x)6的展开式系数最大项为T4＝C36x＝20x. 26(2)由题意知，Cn＝Cn，∴n＝8.
－?1?r－
?x?＝Cr∴Tr＋1＝Crx8r·x82r， 8·8·??
153
当8－2r＝－2时，r＝5，∴x2的系数为C8＝C8＝56. 答案 (1)B (2)56
规律方法 (1)第(1)小题求解的关键在于赋值，求出a0与n的值；第(2)小题在求
7解过程中，常因把n的等量关系表示为C3n＝Cn，而求错n的值．
(2)求解这类问题要注意：①区别二项式系数与展开式中项的系数，灵活利用二项式系数的性质；②根据题目特征，恰当赋值代换，常见的赋值方法是使得字母因式的值或目标式的值为1，－1.
2?n?
【训练2】 (1)二项式?x＋x2?的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展
??开式中常数项是( )．
A．180 B．90 C．45 D．360
a1a2a3a2014(2)若(1－2x)＝a0＋a1x＋a2x2＋?＋ax(x∈R)，则2＋22＋23＋?＋22014的值为________．
解析 (1)由二项式系数的性质，得
n＝10，∴Tr＋1＝Cr10(
5?r?2?2x)10－r?2?r＝2rCr10·
?x?
x5，
52令5－2r＝0，则r＝2，从而T3＝4C10＝180. (2)令x＝0，得a0＝(1－0)＝1.
1a1a2a2014令x＝2，则a0＋2＋22＋?＋22014＝0， a1a2a2014
∴2＋22＋?＋22014＝－1.