发布时间 : 星期二 文章浙江省高中数学竞赛试卷含参考答案更新完毕开始阅读46b0d15c7ed184254b35eefdc8d376eeaeaa17a8
10．若数列{an}的前n项和Sn?n?n，n?N，则?32*2015i?11= ．
ai?8i?2答案：
2015. 60482*2a?a?3n?5n?2,a?3n?5n?2(n?N), 又，故a?0?i?in1i?1i?1nn?1解答：an?201520152015111201511. ??(?)????3i?1ii?16048i?1ai?8i?2i?13i(i?1)11． 已知F为抛物线y?5x的焦点，点A (3，1)， M是抛物线上的动点．当|MA|?|MF|取最小值时，点M的坐标为 ． 答案：(21,1). 5解答：设抛物线的准线为l:x??5.过M作l的垂线，垂足为H,则 4AM?MF?AM?MH?AH,当A,M,H三点共线时取等号，此时M的坐标为
1(,1)。 512．若16答案：?sin2x?16cosx?10，则cos4x? .
21. 2?16sinx,1?t?16，则16cosx?161?sinx?222解答:设t1616?10?t?2,或，代入方程得t?ttt?8，即
113sinx?或，所以cos4x??。
442213. 设函数f(x)?min{x?1,x?1,?x?1}，其中min{x,y,z}表示x,y,z中的最小者．若
2f(a?2)?f(a)，则实数a的取值范围为 ．
答案：(??,?2)?(?1,0).
解答：当a?2??1时，a?a?2??1,此时有当1?a?2?0时，?3?a??2,此时有当0?a?2?1时，?2?a??1,此时有当1?a?2?2时，?1?a?0,此时有当a?2?2时，a?0,此时有
f(a)?f(a?2)；
f(a)?f(?2)??1?f(a?2)； f(a)?f(a?2)；
f(a)?f(a?2)；
f(a)?f(a?2)。
rrrrrrrr?2?rr14． 已知向量a,b的夹角为， a?b?5，向量c?a，，c?a?23，c?b的夹角为
33rr则a?c的最大值为 ．
答案：24.
uuurruuurruuurruuurrruuurrr解答：OA?a,OB?b,OC?c，则AC?c?a?23,AB?a?b?5.又
?AOB??3,?ACB?2?3,此时O,A,C,B共圆，由正弦定理得sin?ABC?，则
53cos?ABC?4。在?ACO中，?AOC??ABC,由余弦定理得5r8rrr2r2rrrurr2AC?a?c?2accos?AOC,即12?2ac?ac?ac?30，所以
5rrrrrr?14a?c?accos?AOC?24，当?ACO??arctan时取“=”，因此a?c的最大值为
423224.
15．设a,b?Z，若对任意x?0，都有(ax?2)(x?2b)?0，则a?______,b?_______. 答案：a?1,b??2.
解答：首先令x?0,知b?0.其次考虑过定点（0,2）的直线y?ax?2，与开口向上的抛物线y?x?2b，满足对任意x?0所对应图象上的点不在x轴同侧，因此?又a,b?Z，故a2?2b?2.a?1,b??2.
三、解答题（本大题共有3小题，16题16分，17、18每题18分，共52分）
16． 设a,b?R，函数f(x)?ax?b(x?1)?2．若对任意实数b，方程f(x)?x有两个相异的实根，求实数a的取值范围． 参考答案：
因为方程f(x)?x有两个相异的实根，即方程ax?(b?1)x?b?2?0有两个相异的实数
22根，所以
?a?0, ………………………………4分
?x?(b?1)2?4a(b?2)?0即
?a?0对任意实数b恒成立，所以
b2?2(1?2a)b?8a?1?0?a?0，…………………………………………………12分
?b?4(1?2a)2?4(8a?1)?0解得0?a?1.…………………………………………………………………………16分
x2y217．已知椭圆C1:2?2?1(a?b?0)的离心率为
ab3，右焦点为圆2C2:(x?3)2?y2?7的圆心．
(I)求椭圆C1的方程；
(II)若直线l与曲线C1，C2都只有一个公共点，记直线l与圆C2的公共点为A，求点A的坐标．
?c?3?a?2参考答案：（Ⅰ）设椭圆C1的半焦距长为c，则?c3，解得b?1，所以椭圆方程为
??2?a?x2?y2?1.………………………………………………………………………………4分 4（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，显然不满足题意.当直线l的率存在时，可设直线l的方程为y?kx?m(k,m?R)，点A的坐标为(xA,yA)，其中yA??km?3. 21?k2?x2??y?1，消去y得(1?4k2)x2?8kmx?4m2?4?0…………（1） 联立方程?4?y??kx?m所以?1?16(4k2?m2?1)?0,即
4k2?m2?1?0……………………（2）……………………………………………8分
22??(x?3)?y?7联立方程?消去y得
??y?kx?m(1?k2)x2?2(km?3)x?m2?4?0………………（3）
所以?2?16(4k2?m2?23mk?7)?0,即
4k2?m2?23mk?7?0……………………………（4）…………………………12分
（2）-（4）得km?3……………………………… （5）
（5）代入（3）得xA??2km?3?0………………（6）…………………………16分
1?k22（6）代入C2:(x?3)?y?7得yA??2.
经检验A(0,2),或A(0,?2)符合题意，这样点A的坐标为(0,2),(0,?2).…………18分
1?a?a?,n??n?1bn,n?N*．证明:a50?b50?20． 18．已知数列?an?,?bn?满足a1?0,b1?0,?1?bn?1?bn?an??参考答案：
证明：因为an?1?bn?1?an?bn?492222anbn11??2(?)， 所以 2anbn2bnan49ab11a?b?a?b??(2?2)?2?(i?i)
biaii?1aii?1bi2502502121 ?a1?b1?2211?2?2?2?49?4?4?49?200.……………………8分 2a1b1又an?1bn?1?anbn?1?2， anbn11?2?49?98?ab??100.……………………16分 ?11a1b1i?1aibi2249所以a50b50?a1b1?2所以(a50?b50)?a50?b50?2a50b50?200?200?400.因此a50?b50?20……18分