发布时间 : 星期二 文章概率论与数理统计习题解答更新完毕开始阅读4785893baf1ffc4fff47ac0b
概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第9页 (共57页)
电量为90万千瓦时又是怎样的？
解 如果供电量只有80万千瓦，供电量不够用的概率为：
P(Z>80/100)=P(Z>0.8)=?12x(1?x)2dx?0.0272
0.81 如果供电量只有80万千瓦，供电量不够用的概率为：
P(Z>90/100)=P(Z>0.9)=?12x(1?x)2dx?0.0037
0.91
14. 某仪器装有三只独立工作的同型号电子元件，其寿命(单位 小时)都服从同一指数分
布，分布密度为
x?1600e,?F(x)??600?0,?0?x0?x
试求在仪器使用的最初200小时以内，至少有一只电子元件损坏的概率.
解 设X表示该型号电子元件的寿命，则X服从指数分布，设A={X≤200}，则
P(A)=
?20001e600?x600dx?1?e?13
设Y={三只电子元件在200小时内损坏的数量}，则所求的概率为：
1P(Y?1)?1?P(Y?0)?1?CPA()?(1PA())??1e(?)?1e030?30?313
215. 设X为正态随机变量，且X～N(2，?)，又P(2 ?2?2X?24?2??2? P(2?X?4)?P 3????????00.?????????????即???2???0.3?0.5?0.8 ???X?20?2???2??2?故 P(X?0)?P?????????1?????0.2 ?????????? 16. 设随机变量X服从正态分布N(10，4)，求a，使P(|X－10| ?aX?10a? 解 由于P?|X?10|?a??P??a?X?10?a??P??????222??a???a??a??????????2????1?0.9 ?2??2??2??a?所以????0.95 ?2?a 查表可得， =1.65 2即 a = 3.3 17. 设某台机器生产的螺栓的长度X服从正态分布N(10.05，0.062)，规定X在范围(10.05 ±0.12)厘米内为合格品，求螺栓不合格的概率. 概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第10页 (共57页) 解 由题意，设P为合格的概率，则 P?P(|X?10.0?5|0.?12P)???0.X?12X?10.05? ??10.05?P?0.?12?2???0.06??2??(2)??(?2)?2?(2)?1?2?0.9772?1?0.9544 则不合格的概率=1?P = 0.0456 18. 设随机变量X服从正态分布N(60，9)，求分点x1，x2，使X分别落在(－∞，x1)、(x1， x2)、(x2，+∞)的概率之比为3:4:5. 解 由题， x1?603?X?60x1?60?P(X?x1)?P??)??0.25???(3333?4?5 ??x?60x?60?(?1)?1??(1)?0.75,33查表可得 ?x1?60?0.67 3 解得, x1 = 57.99 x2?603?4?X?60x2?60?又P(X?x2)?P??)??0.5833 ???(3?33?4?5?3查表可得 x2?60?0.21 3解得, x2 =60.63. 19. 已知测量误差X（米）服从正态分布N(7.5, 102)，必须进行多少次测量才能使至少有一 次误差的绝对值不超过10米的概率大于0.98？ 解 设一次测量的误差不超过10米的概率为p, 则由题可知 ??10?7.5X?7.5?10?7.5p?P(X?10?)P???? 1010??10??(0.25?)??(1.?7?5)?(0.?2?5)1?(1.7?5)?0.59?87558610.95990.设 Y为n次独立重复测量误差不超过10米出现的次数，则Y~B(n, 0.5586) 于是 P(Y≥1)=1?P(X=0)=1?(1?0.5586)n≥0.98 0.4414n≤0.02, n≥ln(0.02)/ln(0.4414) 解得：n≥4.784 取n=5, 即，需要进行5次测量. 20. 设随机变量X的分布列为 X －2 0 2 3 P 11 77 7 3 27 试求：（1）2X的分布列；（2）x2的分布列. 解 (1) 2X的分布列如下 2X -4 0 4 6 p 1/7 1/7 3/7 2/7 (2) x2的分布列 X2 0 4 9 p 1/7 4/7 2/7 概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第11页 (共57页) 21. 设X服从N(0，1)分布，求Y＝｜X｜的密度函数. ?x,x?0, 从而可得Y=|X|的密度函数为： 解 y=|x|的反函数为h(y)=??x?0?x, 当y>0时，f(y)?f(?y)|(?y)'|?f(y)|y'|?YXX当y≤0时，fY(y)?0 ?2?ye2,y?0 因此有 f(y)????Y?0,y?0?2?y1e2?2?2?y1e2?2?22?e?y22 22. 若随机变量X的密度函数为 ?3x2,f(x)???0,求Y＝ 0?x?1其他 1的分布函数和密度函数. x111 在(0,1)上严格单调，且反函数为 h(y)= , y>1, h’(y)=?2xyy 解 y= ?1?1?1??1?3fY(y)?fX[h(y)]|h?(y)|?fX???2?3?2??2??4 ?y?y?y??y?y?3,y?14因此有 f(y)?? y?Y?0,other??y?4?3y3ydy??y?1?y?3,??Y的分布函数为：FY(y)??11?0,? 23. 设随机变量X的密度函数为 y?1other 2?,?2f(x)???(1?x)?0,?x?0 x?0yy试求Y＝lnX的密度函数. 解 由于y?lnx严格单调，其反函数为h(y)?e,且h'(y)?e, 则 fY(y)?fX[h(y)]|h?(y)|?fX(ey)ey2ey? 2y?(1?e)2?,???y????yy?(e?e) 概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第12页 (共57页) 24. 设随机变量X服从N(μ,?)分布，求Y＝e的分布密度. 解 由于y?ex严格单调，其反函数为h(y)?lny,且h'(y)?,y>0, 则 2x1yfY(y)?fX[h(y)]|h?(y)|?fX(lny)?1e?12?(lny??)221y 2??y当y?0时fY(y)?0 ,y?01?(lny??)2?12e2?,?因此 fY(y)??2??y??0,y?0y?0 ?2x25. 假设随机变量X服从参数为2的指数分布，证明：Y＝1?e在区间(0, 1)上服从均匀 分布. 解 1h(y)??2由于y?1?e?2x在(0, +∞)上单调增函数，其反函数为： ln?(1y)?,y0? 1,并且h'(y)?1，则当0?y?1 2(1?y)fY(y)?fX[h(y)]|h?(y)|11?fX(?ln(1?y)) 22(1?y)1?12(1?y)当y≤0或y≥1时，fY(y)=0. ?2e因此Y在区间(0, 1)上服从均匀分布. 26. 把一枚硬币连掷三次，以X表示在三次中正面出现的次数，Y表示三次中出现正面的 次数与出现反面的次数之差的绝对值，试求（X，Y）的联合概率分布. 解 根据题意可知, (X,Y)可能出现的情况有：3次正面，2次正面1次反面, 1次正面2次反面, 3次反面, 对应的X,Y的取值及概率分别为 1?2(?ln(1?y))2132?1??1?P(X=3, Y=3)= P(X=2, Y=1)=C3 ?????8?2??2?82?1??1?P(X=1, Y=1)= C?????2??2?133?13? P(X=0, Y=3)= 8?1?1??? ?2?83于是，（X，Y）的联合分布表如下： X 0 1 2 3 Y 1 0 3/8 3/8 0 3 1/8 0 0 1/8 27. 在10件产品中有2件一级品，7件二级品和1件次品，从10件产品中无放回抽取3 件，用X表示其中一级品件数，Y表示其中二级品件数，求： （1）X与Y的联合概率分布；