发布时间 : 星期二 文章概率论与数理统计习题解答更新完毕开始阅读4785893baf1ffc4fff47ac0b
概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第13页 (共57页)
（2）X、Y的边缘概率分布； （3）X与Y相互独立吗？
解 根据题意，X只能取0，1，2，Y可取的值有：0，1，2，3，由古典概型公式得：
ijk(1) pij?P(X?i,Y?j)?C2C7C1,其中,i?j?k?3,i?0,1,2,j?0,1,2,3
3C10 k?0,1,可以计算出联合分布表如下
Y pi 0 1 2 3 X 0 1 2 0 0 1/120 21/120 35/120 56/120 14/120 42/120 0 56/120 7/120 0 0 8/120 0 pj
1/120 21/120 63/120 35/120 (2) X,Y的边缘分布如上表
(3) 由于P(X=0,Y=0)=0, 而P(X=0)P(Y=0)≠0, P(X=0,Y=0)≠P(X=0)P(Y=0), 因此X,Y不相互独立.
28. 袋中有9张纸牌，其中两张“2”，三张“3”，四张“4”，任取一张，不放回，再任取
一张，前后所取纸牌上的数分别为X和Y，求二维随机变量(X, Y)的联合分布律，以及概率P(X＋Y>6)
解 (1) X,Y可取的值都为2,3,4, 则(X,Y)的联合概率分布为： Y pi 2 3 4 X 2 3 4 22A2/A9?1/36 112A3A2/A9?1/12 112A4A2/A9?1/9 112A2A3/A9?1/12 22A3/A9?1/12 112A4A3/A9?1/6 112A2A4/A9?1/9 2/9 112C3C4/A9?1/6 1/3 22A4/A9?1/6 4/9 pj 2/9 1/3 4/9
(2) P(X+Y>6) = P(X=3, Y=4) + P(X=4, Y=3) + P(X=4,Y=4)
=1/6+1/6+1/6=1/2.
29. 设二维连续型随机变量(X, Y)的联合分布函数为
x??y??F(x,y)?A?B?arctan??C?arctan?,
2??3??求：（1）系数A、B及C； （2）(X, Y)的联合概率密度； （3）X，Y的边缘分布函
数及边缘概率密度；（4）随机变量X与Y是否独立？
解 (1) 由(X, Y)的性质, F(x, -∞) =0, F(-∞,y) =0, F(-∞, -∞) =0, F(+∞, +∞)=1, 可以得到如下方程组：
概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第14页 (共57页)
??x????0?A?B?arcta2n??C?2????????????y? ?A?B?2??C?arctan3??0
???????A?B????C????0?????2??2????A?B????C????1?????2??2???解得：A?122?2F(x,y)6(2) f(x,y)? ?2?x?y?(4?x2)(9?y2)(3) X与Y的边缘分布函数为： FX(x)?F(x,??)??,B?2?,C??,
1??x?????1??x??arctan???arctan?????
?2?2222?22??????1??????y?1??y?FY(y)?F(??,y)?2?????arctan????arctan?
??22??23???22?'X与Y的边缘概率密度为：
(?) fX(x)?FXxy?) fY(y)?FY('232?(x2?4)
?(y?9)(4) 由(2),(3)可知：f(x,y)?fX(x)fY(y), 所以X，Y相互独立.
30. 设二维随机变量(X, Y)的联合概率密度为
?e-(x+y),f(x,y)??0,?0?x???,其他
（1）求分布函数F(x, y)；
（2）求(X，Y)落在由x＝0，y＝0，x＋y＝1所围成的三角形区域G内的概率.
解 (1) 当x>0, y>0时， F(x,y)? 否则，F(x, y) = 0.
(2) 由题意，所求的概率为
??0yx0e?(u?v)dudv?(1?e?x)(1?e?y)
P((x,y)?G)???f(x,y)dxdyG??dx?011?x
0e?(x?y)dy?1?2e?1?0.2642
31. 设随机变量（X，Y）的联合概率密度为
?Ae-(3x+4y),f(x,y)??0,?x?0,y?0,其他
求：（1）常数A；（2）X，Y的边缘概率密度；（3）P(0?X?1,0?Y?2).
概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第15页 (共57页)
解 (1) 由联合概率密度的性质，可得
??????????f(x,y)dxdy?1????0???04)Ae?(3x?ydxdy?A/12
解得 A=12.
(2) X, Y的边缘概率密度分别为：
???(3x?4y)?dy?3e?3x,x?0??012e fX(x)??f(x,y)dy?????other?0,???(3x?4y)???dx?4e?4y,y?0??012e fY(y)??f(x,y)dx?????other?0,(3) P(0?x?1,0?y?2)
????20?12e0?31?(3x?4y)dxdy
?(1?e)(1?e)
32. 设随机变量（X，Y）的联合概率密度为
?8?2xy?x?,f(x,y)??3??0,0?x?1,0?y?2,其他
求 P(X＋Y≥1).
解 由题意，所求的概率就是(X,Y)落入由直线x=0 ,x=1, y=0, y=2, x+y=1围的区域G中, 则
P((x,y)?G)???f(x,y)dxdyG2xy dy01?x3214xx5x365????dx?032672??dx?x2?1
33. 设二维随机变量(X, Y)在图2.20所示的区域G上服从均匀分布，试求(X, Y)的联合概率
密度及边缘概率密度.
解 由于(X, Y)服从均匀分布，则G的面积A为：
A???Gf(x,y)dxdy??dx?2dy??(x?x2)dx?0x01x11, 6(X, Y)的联合概率密度为： f(x,y)???x?1?6,0.
0,other??? X,Y的边缘概率密度为： fX(x)?????x6dy?6x(2?x),?0x???fx(y,dy)??x?other?0,21
概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第16页 (共57页)
fY(y)???????y6dy?6(y?y),0?y?1?f(x,y)dx???y
?other?0,?5e?5y,????y?0fy(y)??
y?0?0,
34. 设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在(0, 0.2)上服从均匀分布，Y的概率密度是
求：（1）X和Y和联合概率密度； （2）P(Y≤X).
解 由于X在(0, 0.2)上服从均匀分布，所以fX(x)?1/0.2?5
(1) 由于X，Y相互独立，因此X, Y的联合密度函数为：
?25e?5y,y?0,0?x?0.2 f(x,y)?fX(x)fY(y)??other?0,(2) 由题意，所求的概率是由直线x=0, x=0.2, y=0, y=x所围的区域， 如右图所示， 因此
0.2xy y=x 0 0.2 x P(Y?X)???f(x,y)dxdy??dx?25e?5ydyG00
?5?1?e?5xdx?1?e?1?1?e?100.2
35. 设（X，Y）的联合概率密度为
?1?,????0?x?1,0?y?2f(x,y)??2
??0,其他1求X与Y中至少有一个小于的概率.
2解 所求的概率为
?P?(X????1?P?X??1???1????0.511)21?(Y?)?2?11??,Y??22? f(x,y)dxdy???0.515dxdy?0.5?0.528236. 设随机变量X与Y相互独立，且
X －1 1 3
P
11 25
Y －3
11
3 10
3 P 4 4
求二维随机变量（X，Y）的联合分布律.
解 由独立性，计算如下表 X Y -3
-1 1/8 1 1/20 3 3/40 pj 1/4