发布时间 : 星期一 文章概率论与数理统计习题解答更新完毕开始阅读4785893baf1ffc4fff47ac0b
概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第三章 第29页 (共57页)
1
解 由于
11 88
8
1
试验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的.
?111??111?E(X)??1??????0?1??????0,?888??888?
?111??111?E(Y)??1??????0?1??????0,?888??888?cov(X,Y)?E((X?E(X))(Y?E(Y)))?E(XY)
111111?(?1)?(?1)??(?1)?0??(?1)?1??0?(1)?(?1)??1?0??1?1??0888888因此?XY?0, 即X和Y是不相关的.
111?0?P(X?0,Y?0), 但由于P(X?0)P(Y?0)???8816因此X,Y不是相互独立的.
20. 设二维随机变量（X，Y）的密度函数为
?1?(x?y),???????x?2???y??? f(x,y)??8????????????????????其他，求E(X)，E(Y)，D(X)，D(Y)，cov(X, Y)，?XY及协方差矩阵.
11(x?y)dy?(x?1) ???084??217E(X)?xf(x)dy?x(x?1)dy? ???X?046??122522 又E(X)??xfX(x)dy??x(x?1)dy?
??403解 fX(x)???f(x,y)dy??257?11 D(X)?E(X? )?E(X??)?????3?6?36711D(Y)?, 同理可得 E(Y)?,636????1224 E(XY)???xyf(x,y)dxdy???xy(x?y)dydx?
????8003cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)
4771????? 36636cov(X,Y)1111?XY??????
363611D(X)D(Y)222协方差矩阵为
??12C?????1?2
??1?2??11/36?1/36????? 2?2???1/3611/36?概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第三章 第30页 (共57页)
21. 已知随机变量(X, Y)服从正态分布，且E(X)＝E(Y)=0，D(X)=16，D(Y)=25，cov(X,Y)
＝12，求(X, Y)的密度函数. 解 由题意,
??cov(X,Y)123?? 205D(X)D(Y)12??x???2x??1??y??2??y??2???1????2??22?2(1??2)?????1122?? 则密度函数为
1f(x,y)?2??1?21??2e
?
22. 设随机变量X和Y相互独立，且E(X)＝E(Y)＝0，D(X)＝D(Y)＝1，试求E((X＋Y)2). 解 E(X?Y)?EX?Y?2XY?E(X)?E(Y)?E(2XY)
2222由于D(X)=E(X)??E(X)??E(X)=1,D(Y)=E(Y)??E(Y)??E(Y)=1
221e32??25?x23xyy2??????32??165025?
?2??22?22因此有
E?(X?Y)2??1?1?0?2
23. 设随机变量X和Y的方差分别为25，36，相关系数为0.4，试求D(X＋Y)，D(X－Y).
解 由题意， 0.4?covX(Y,),D(X)DY()coXvY(?,)?0.?4?5 612 D(X+Y)=2(cov(X,Y))+D(X)+D(Y) = 24+25+36=85 因为 cov(X, ?Y) = ?cov(X,Y) = ?12
因此
D(X?Y) = 2(cov(X,??Y))+D(X)+D(?Y) = ?24 + 25 + 36 = 37.
24. 设随机变量X和Y相互独立，且都服从正态分布N(0, ?2)，令U＝aX＋bY，V＝aX?bY，
试求U和V的相关系数.
解 由于X，Y相互独立，则都服从N(0, ?2)
D(U)?D(aX?bY)?a2D(X)?b2D(Y)??2(a2?b2)
D(V)?D(aX?bY)?a2D(X)???b?D(Y)??2(a2?b2)
2D(U?V)?D(aX?bY?aX?bY)?D(2aX)?4a2?2
1cov(U,V)??D(U?V)?D(U)?D(V)?2
1?(4a2?2?2(a2?b2)?2)?(a2?b2)?22cov(U,V)(a2?b2)?2a2?b2???222?22
a?bD(U)D(V)(a?b)?
概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第四章 第31页 (共57页)
第四章 大数定律与中心极限定理
1. 设Xi，i＝1，2，?，50是相互独立的随机变量，且它们都服从参数为?＝0.02的泊松
分布. 记X＝X1＋X2＋?+X50，试利用中心限定理计算P(X≥2). 解 由题意，E(Xi) = D(Xi) = ????????，X?????????由中心极限定理???随机变量????????所以有??
?P(X?2)?1?P(X?2)?1?P(X?1?1)?1??(1)?0.1587
2. 某计算机系统有100个终端，每个终端有2％的时间在使用，若各个终端使用与否是相
互独立的，试分别用二项分布、泊松分布、中心极限定理，计算至少一个终端被使用的概率.
解 设X为被使用的终端数, 由题意, X~B(100, 0.02) (1) 用二项分布计算
0P(X?1)?1?P(X?0)?1?C100(0.02)0(1?0.02)100?1?0.1326?0.8674
?Xi?150i?
X?n?X?50?0.02??X?1近似服从标准正态分布 n?500.02 (2) 用泊松分布近似计算
因为 ????np = 100×0.02 = 2, 查表得
?0.1353 = 0.8647. 1? P(X?1)?1?P(X?0) (3) 中心极限定近似计算
np?100?0.02?2,npq?2?0.98?1.96P(X?1)?1?P(0?X?1)??1?np??0?np???1??????????npq?????npq?????????1?2??0?2???1??????????1.961.96???????1???1.43????0.71??0.8375
3. 一个部件包括10个部分，每部分的长度是一个随机变量，它们相互独立，服从同一分
布，数学期望为2mm，均方差不0.05mm，规定部件总长度为20±0.1mm时为合格品，求该部件为合格产品的概率.
解 设Xi表示一部分的长度, i=1, 2, …, 10. 由于X1, X2, …, X10相互独立, 且E(Xi) =2, D(Xi)=0.052, 根据独立同分布中心极限定理，随机变量
1101(X?2)?(X?20) 近似地服从标准正态分布. 于是 ?kk?10.1580.05n 31
概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第四章 第32页 (共57页)
P(19.?9X?20.1)?20X?202?0.1?19.9?20?P???? 0.1580.?158?0.158??(0.63?3?)?(0.633)?2?(0.63?3)?1?20.?7?3510.47
4. 计算机在进行加法时，对每个加数取整（取为最接近于它的整数），设所有的取整误差
是相互独立的，且它们都在(-0.5, 0.5)上服从均匀分布.
(1) 若将1500个数相加，试求误差总和的绝对值超过15的概率； (2) 多少个数相加可使误差总和绝对值小于10的概率为0.05的概率. 解 设Xi表示一个加数的误差，则Xi~U(-0.5, 0.5), E(Xi) =0, D(Xi)=1/12 (1) 根据独立同分布中心极限定理，随机变量
1n???1500i?1(Xi?E(Xi))11500(Xi?0) ?i?11500/12115001?(X?0)?X?ii?111.181500/12近似地服从标准正态分布. 于是
P(?15?X?15)
X15? ??15?P?????11.1811.1811.18???(1.34)??(?1.34)
?2?(1.34)?1?2?0.9099?1?0.8198 因此所求的概率为：
1-P(-15 (2) 由题意，设有n个数相加可使误差总和绝对值小于10的概率为0.90,X = nXi. 由独立同分布的中心极限定理，随机变量准正态分布. 则 1?n?i?1(Xi?E(Xi))?n1X近似地服从标n/12X10???10P(X?10)?P(?10?X?10)?P???? = 0.90 n/12n/12??n/12?10???10??10??????2???????1?0.9n/12n/12n/12?????? ?10?即????0.95.?n/12?10查表得 =1.645, n/12解得：n=443 即443个数相加可使误差总和绝对值小于10的概率为0.05的概率 5. 为了确定事件A的概率，进行了一系列试验. 在100次试验中，事件A发生了36次， 如果取频率0.36作为事件A的概率p的近似值，求误差小于0.05的概率. 32