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专题十一高考中填空题的解题方法与技巧
【重点知识回顾】
填空题是将一个数学真命题，写成其中缺少一些语句的不完整形式，要求学生在指定的空位上，将缺少的语句填写清楚·准确。它是一个不完整的陈述句形式，填写的可以是一个词语·数字·符号·数学语句等。
填空题的主要作用是考查学生的基础知识、基本技能及思维能力和分析问题、解决问题的能力，填空题的结果必须是数值准确、形式规范、表达式（数）最简，结果稍有毛病，便得零分．
填空题的基本特点：
1．方法灵活，答案唯一； 2．答案简短，具体明确．
学生在解答填空题时注意以下几点；
1．对于计算型填空题要运算到底，结果要规范； 2．填空题所填结果要完整，不可缺少一些限制条件； 3．填空题所填结论要符合高中数学教材要求；
4．解答填空题平均每小题3分钟，解题时间应控制在12分钟左右． 总之，解填空题的基本原则是“小题小做”，要“准”、“活”、“灵”、“快”．
【典型例题】 （一）直接法
直接法求解就是从题设条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法则等知识，通过变形、推理、计算等，得出正确的结论． 例1、不等式(1?x)(1?|x|)?0的解集是：
【解析】当x?0时，原不等式等价于(1?x)(1?x)?0，
∴?1?x?1，此时应有：0?x?1；
2当x?0时，原不等式等价于(1?x)?0，
∴x??1，此时应有：x??1或?1?x?0；
∴不等式(1?x)(1?|x|)?0的解集是：{x|x?1且x??1}．
例2、在等差数列{an}中，a1??3,na5?5a8?13，则数列{an}的前n项和Sn的最小值为：
【解析】设公差为d，则11(?3?4d)?5(?3?7d)?13，
5，∴数列{an}为递增数列， 925令an?0，∴?3?(n?1)??0，∴n?6，
59∴d?*∵n?N，∴n?7，∴前6项和均为负值，
∴Sn的最小值为S6??29． 3【题后反思】
由于填空题不需要解题材过程，因此可以透过现象看本质，自觉地、有意识地采用灵活、简洁的解法，省去某些步骤，大跨度前进，也可配合心算、速算、力求快速，辟免“小题大做”．
（二）特殊值法
当填空结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，我们只需把题材中的参变量用特殊值代替之，即可得到结论．
例3、函数y?f(x)在（0，2）上是一增函数，函数y?f(x?2)是偶函数，则
57f(1),f(),f()的大小关系为：（用“<”号连接）
22752【解析】取f(x)??(x?2)，则f()?f(1)?f()，
22x2y2例4、椭圆??1的焦点为F1,F2，点P为其上的动点，当?F1PF2为钝角时，
94点P横坐标的取值范围是：
【解析】设P(x,y)，则当?F1PF2?90时，点P的轨迹方程为x?y?5，由此可得点P的横坐标x???2235，又当点P在x轴上时，?F1PF2?0；点P在y轴上时，?F1PF2?为钝角，由此可得点P横坐标的取值范围是：?3535?x?． 55【题后反思】
特殊值法一般可取特殊值、特殊函数、特殊角、特殊数列、图形的特殊位置、特殊性点、特殊方程、特殊模型等． （三）数形结合法
根据题目条件，画出符合题意的图形，以形助数，通过对图形的直观分析、判断，往往可以简捷地得出正确的结果，它既是方法，也是技巧，更是基本的数学思想． 例5、已知直线y?x?m与函数y?1?x2的图像有两个 不同的交点，则实数m的取值范围是：． 【解析】∵函数y?1?x2的图像如图所示， ∴由图可知：1?m?
-1 y y?x?2 y?x y?x?1 y?x?1
1 x 2．
1312x?ax?2bx?c，若当x?(0,1)时，f(x)可取得极大值；32b?2当x?(1,2)时，f(x)可取得极小值，则的取值范围是： y a?1例6、设函数f(x)?【解析】f(x)?x?ax?2b，由条件知，f(x)?0的一个 根在（0，1）上，另一个根在（1，2）上，
/2/?f/(1)?0?a?2b?1?0??b?0∴?f/(0)?0，即? ?a?b?2?0?f/(2)?0??内，而
(-3,1) … …….…… ……………… ………-2 -1 A(1,2) x a+2b+1=0 -2 a+b+1=0 如图所示，在平面直角坐标系xOy中作出上述区域，得点P（a，b）在图中的阴影区域
b?2的几何意义是过两点P（a，b）与A（1，2）的直线的斜率，易知a?1b?21?kPA?(,1)． a?14【题后反思】
数形结合法，常用的有Venn图，三角函数线，函数图像及方程的曲线等，另一面，有些图形问题转化为数量关系，如直线垂直可转化为斜率关系或向量积等． （四）等价转化法
通过“化复杂为简单，化陌生为熟悉”将问题等价转化为便于解决的问题，从而等到正确的结果．
例7、若不论k为何实数，直线y?kx?1与圆x?y?2ax?a?2a?4?0恒有交点，则实数a的取值范围是：
【解析】题设条件等价于直线上的定点（0，1）在圆内或圆上，或等价于点（0，1）到圆心（a，0）的距离小于或等到于圆的半径2a?4，所以?1?a?3
例8、计算37?52?37?52?
【解析】分别求这两个二重根式的值显然不是那么容易，不妨从整体考虑，通过解方程求之．
设
32227?52?37?52?x，两边同时立方得：x3?3x?14?0，即：
(x?2)(x2?2x?7)?0，
2∵x?2x?7?0，∴x?2，即37?52?37?52?2，因此应填2.
【题后反思】
在研究解决数学问题时，常采用转化的手段将问题向有利于解答的方面转化，从而使问题转化为熟悉的、规范的、甚至模式的问题，把复杂的问题转化为简单的问题． （五）构造法
根据题设条件与结论的特殊性，构造出一些新的数学形式，并借助于它来认识和解决问题．
例9、如果(1?sin是：．
4?)sin??(1?cos4?)cos?,(??(0,2?))，那么角?的取值范围
4/4【解析】设函数f(x)?(1?x)x，则f(x)?1?5x?0，所以f(x)是增函数，由题设，得出f(sin?)?f(cos?)，得sin??cos?，所以??(?5?4,4)．
例10、P是正方体ABCD—A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1内任意一点，AP与三条棱AA1，AB1，AD的夹角分别为?,?,?，则cos
2??cos2??cos2??
A1 Q B1 R C1 P D1
A B Q/ P/ R/
C
D
【解析】如上图，过P作平面PQQ/P/，使它们分别与平面B1C1CB和平面C1D1DC平行，则构造一个长方体AQ/P/R/—A1QPR，故
cos2??cos2??cos2??1．
【题后反思】
凡解题时需要根据题目的具体情况来设计新模式的的问题，通常要用构造法解决． （六）分析法
根据题设条件的特征进行观察、分析、从而得出正确的结论．
x2?y2?1的左焦点F和左准线l为相应的焦点和准线的椭圆截直线例11、以双曲线3y?kx?3，所得的弦恰好被x轴平分，则k的取值范围是：．
【解析】双曲线的左焦点为F（-2，0），左准线l为x??3，因为椭圆截直线所得的弦2恰好被x轴平分，故根据椭圆的对称性，知椭圆的中心即为直线y?kx?3与x轴的交点（?333,0），故???2，得0?k?． kk2例12、某射手射击1次，击中目标的概率为0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：
①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是0.9?0.1；③他至少击中目标1次的概率是1?0.1．
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