发布时间 : 星期六 文章离散数学模拟题和答案更新完毕开始阅读47f7263de518964bcf847c80
复习要点
1. 加法原理与乘法原理 2. 圆排列公式与应用 3. 鸽巢原理及其应用
4. 容斥原理及其应用（错位排列数Dn） 5. S(n，k)的意义及计算。 6. B(n，k) 的意义及计算。 7. 数值函数的性质及其计算。 8. 利用生成函数求解。 9. 建立递推关系式。 10. 求解递推关系式。 11. Pólya定理的应用。
复习题一
1. 6个男孩和6个女孩围成一个圆圈，若男孩和女孩交替就坐，有多少种方法？
2. 考试中有15个判断“对”或“错”的答题。允许学生对某些题不回答，有多少种回答方法？ 3. （1）在一边长为1的等边三角形中任取5个点，则其中必有两点，该两点的距离至多为
1； 2（2）在一边长为1的等边三角形中任取10个点，则其中必有两点，该两点的距离至多为
1； 3（3）确定mn，使得在一边长为1的等边三角形中任取mn个点，则其中必有两点，该两点的距离至多为
1。 n4. 一位学生有37天时间准备考试，根据以往的经验，他知道至多只需要60个小时的复习时间，他决定每天至少复习1小时。证明：无论他的复习计划怎样，在此期间都存在连续的一些天，他正好复习了13个小时。
5. 有8个人寄存帽子，问各有多少种方法交还帽子使得 (1) 没有一个人得到自己的帽子。 (2) 至少有一个人得到自己的帽子。 (3) 至少有两个人得到自己的帽子。 6. 已知数值函数
?30?20?a：ai=??5??0i?0i?1
2?i?5i?6?0? b：bi=?0.1?0?i?01?i?11 i?12试求：a+b，a?b，S3a，S-2b，△a，a*b。
7. 一个质点在水平方向上运动，每秒中走过的距离等于前一秒中走过距离的两倍，已知起始位置为3，第3秒钟时的位置是10，试求第i秒钟时质点的位置。
8. 已知常系数线性递推关系： c0ai+ c1ai-1+ c2ai-2=6的解为a：ai=3i+4i+2 (i≥0)，试求c0，c1和c2。 9. 设ai是如1，1，2，3，5，6，13，21，34，?的Fibonacci数列，证明： （1）a0+ a2+?+a2i= a2i+1 （2）a1+ a3+?+a2i-1= a2i-1 （3）a02+ a12+?+ ai2=ai ai+1
10. 将n个不同的球放入r个不同的盒子里，盒内的球是有序的，求其分配方案数。 11. 有n个不同的整数，从中取出两组来，要求第一组里的最小数大于第二组里的最大数，问有多少种方案？
答案一
1解. 5！×6！ 2解. 315
3解. （1）（2）
（3）mn=n2+1
4解. 设ai（1≤i≤37）表示第i天复习的累计小时数，则显然有
1≤a1 于是 14≤a1+13 由（1）和（2）可知 1≤a1，a2，?，a37，a1+13，a2+13，? 即74个数只有73个值，故根据鸽巢原理可知数列（3）中至少有两个数是相等的，又因为数列（1）和（2）都是严格单增的，所以应有1≤i，j≤37，使 ai=aj＋13 即 ai-aj=13 因此从第j＋1天开始到第i天为止，该学生恰好复习13小时。 5解. (1) D8。 (2)8！- D8。 (3) 8！- D8 -8 D7。 ?30?20.1?6解. a+b=??5.1?0.1???0?0i?1?2?2?i?5，a?b=??0.56?i?11?0?i?12i?0?0i?0?30?i?13 ，Sa=??202?i?5?5?i?6??00?i?2i?3i?45?i?8i?9， S-2b=??0.1?0??10??15?0?i?9，△a=??0i?10??5???0?0?3??5??5.5i?0?6?i?1?6.52?i?4，a*b=??7?4i?5?i?6?2?1.5??1??0.5??0i?0i?1i?2i?3i?4i?56?i?11。 i?12i?13i?14i?15i?16i?177解.a0=3，a3=10，a1= a0+s，a2= a1+2s，a3= a2+4s，a3= a0+7s，解得s=1，ai= ai-1+2i-1= a0+20+21+…+2i-1=2i+2 2 8解. 特征方程c0λ+ c1λ+ c2=(λ-3)( λ-4), 解得：c0=1，c1=-7，c2=12 9解.（1）a0+ a2+?+a2i= a1+ a3- a1+ a5- a3+?+ a2i+1 -a2i-1= a2i+1 （2）a1+ a3+?+a2i-1= a4- 1+ a6- a4+?+ a2i -a2i-2= a2i-1 （3）a02+ a12+?+ ai2= a a0+ a1(a2-a0)+ a2 (a3-a1)?+ ai (ai+1- ai-1)=ai ai+1 10解.n!C(n+r-1,n) 11解. (n-2)2n-1+1 复习题二 1. 设平面上有25个点，其中任何3点都不共线，试问平面上确定多少直线和三角形？ 2. 一个徒步旅行的人用10小时走45公里，已知他第一小时走6公里，最后一小时走3公里，试证他必须在某相邻的两小时内至少走9公里。 3. 已知 (i?2)?ai?c1ai?1?c2ai?2?0 ?a?0,a?1,a?4,a?12123?0试求ai。 4. 把4个球a，a，b，b放入3个不同的盒子里，求分配方案数。若不允许有空盒，问有多少种分配方案？ 5. i位三进制数中，没有1出现在任何2的右边的序列的数目记为ai，求ai满足的递推关系。 6. 已知S={∞?e1，∞?e2，∞?e3，∞?e4}，数值函数a：ai分别表示满足下列条件的S的i组合数，试分别求出生成函数A(z)： （1）每个ei出现奇数次； （2）每个ei出现3的倍数次； （3）e1不出现，e2至多出现一次； （4）e1出现1次、3次或5次，e2出现2次、4次或6次； （5）每个ei至少出现10次。 7. 用红、白和蓝三种颜色给1×i棋盘上的方格着色，设ai表示没有两个相邻的方格都着红色的方案数，试建立ai的递推关系，并求出ai的表达式。 8. 求下列递推关系的一个特解 （1）ai -4ai-1+4ai-2=2i (i≥0) （2）ai -2ai-1=7i2 (i≥0) 9. 在无限多红球、黄球、绿球和白球中选i个球，使满足“红球是偶数个，黄球是奇数个”，令a：ai表示上述取球方式的组合函数。 （1）求a的生成函数A(z)； （2）写出a的表达式； （3）计算a23。 10. 在102和106之间有多少个整数，其各位数字之和等于5？ 答案二 1.解：因为任何3点都不共线，故可以确定C(25，2)条直线和C(25，3)个三角形。 2.解：设ai表示第i小时走的路程，则（a1+a2），（a2+a3），…，（a9+a10）共9个数，他们相加等于45+45-6-3=81。则由鸽巢原理至少存在一个数大于等于9，不可能都小于9。 3.解：将a0,a1,a2,a3代入，解得c1=-4,c2=4。递推方程为：ai-4ai-1+4ai-2=0。特征方程为： 2i λ-4λ+4=0，解得特征根：λ1=λ2=2。所以数值函数ai =(α0i+α1)2, 解得α0=0.5;α1=0 ii-1 所以ai =0.5i2= i2 4.解：6×6=36；12 5.解：ai=2ai-1+2i-1 6.解：（1）( z+z3+z5+…)4=(z/(1-z2))4 （2）( 1+z3+z6+…)4=(1/(1-z3))4 （3）( 1+z) (1+z+z2+…)2=( 1+z)/(1-z)2 （4）( z+z3+z5) ( z2+z4+z6) (1+z+z2+…)2 （5）(z10+ z11 +z12+…)4=(z10/(1-z))4 7.解：ai=2ai-1+ 2ai-2 初值a1=3，a2=8 10.解：方程 x1+x2+?+x6= 5的非负整数解的个数为：C(n+r-1,n)= C(5+6-1,5)=252； 方程 x5+x6= 5的非负整数解的个数为：C(n+r-1,n)= C(5+2-1,5)=6； 所以所求结果为：252-6=246.