发布时间 : 星期六 文章数学奥林匹克高中训练题(18)及答案更新完毕开始阅读48708a31aa00b52acec7cab0
数学奥林匹克高中训练题（18）
第一试
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1．(训练题23)1996?1除以1996?1997所得的余数是(D)．
(A) 1 (B) 1995 (C) 1996 (D) 1997
2．(训练题23)若在抛物线y?ax2(a?0)的上方可作一个半径为r的圆与抛物线相切于原点O，且该圆与抛物线没有别的公共点，则r的最大值是(A)．
(A)
311 (B) (C)a (D)2a 2aa3．(训练题23)考虑某长方体的三个两两相邻的面上的三条对角线及体对角线（共四条线段），则正确
的命题是(B)．
(A)必有某三条线段不能组成一个三角形的三边．
(B)任何三条线段都可组成一个三角形，其中每个内角都是锐角． (C)任何三条线段都可组成一个三角形，其中必有一个是钝角三角形． (D)任何三条线段都可组成一个三角形，其形状是“锐角的”或者是“非锐角的”，随长方体的长，宽，高而变化，不能确定． 4．(训练题23)若0?x?11?的取值范围是(D)．
2sinxcosx1(A)???,??? (B)?0,??? (C)(,??) (D)?1,???
2，则tanx?cotx?(A)
?5．(训练题23)有5个男孩与3个女孩站成一排照相任何两个女孩都不相邻，则其可能的排法个数是(A)．
8!?7!7!?6!10!?3!10!?7! (B) (C) (D)
3!5!4!7!6．(训练题23)使得nsin1?5cos1?1成立的最小正整数n是(B)．
(A)4 (B)5 (C)6 (D)7 二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
x1．(训练题23)设a?R，若函数y?f(x),y?10?3关于直线y?x对称，且y?f(x)与
y?lg(x2?x?a)有公共点，则a的取值范围是 a??6 ．
2．(训练题23)设a,b?R,i??1且存在z?C，适合???2?1?z?zz?a?bi则ab的最大值等于 ．
8z?1??1oo，则?等于 30或50 ． sin??3．(训练题23)设0???90，若1?3tan(60??)?4．(训练题23)设ABCD?ABCD是棱长为1的正方体，则上底面ABCD的内切圆上的点P与过顶
''''点A',B',C',D'的圆上的点Q之间的最小距离d? 3?2 ． 25．(训练题23)如图，在直角坐标系xOy中，有一条周期性折线（函数）l1:y?f(x).现把该曲线绕原点O按逆时针方向旋转45得到另一条曲线l2，则这两条曲线与y轴及直线x?n?n?N?围成的图
?形的面积等于 (1?[
nnn])(2n?[])? ． 222A -3 A -1 y A1 A3 A5 A7 x -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6 7 8 6．(训练题23)设a,b都是正整数，且a?b2?(1?2)100则a?b的个位数等于 4 ．
第二试
一、(训练题23)(本题满分25分) 求证：在复平面上，点集S?{z?C:z3?z?1?0}中，除去某一个
点外的所有的点都在圆环
135?z?中． 342二、(训练题23)(本题满分25分)已知抛物线y?2px(p?0),其焦点为F.试问：是否存在过F点的弦
AB（A,B均在抛物线上，且A在第一象限内），以及y）轴正半轴上的一点P，使得P,A,B三点
构成一个以P为直角顶点的等腰直角三角形？证实你的回答.如果回答是肯定的，请求出直线AB的方程．y?43p(x?) 42三、(训练题23)(本题满分35分)平面上给定?A1A2A3及点P0，构造点列P0，P1，P2?，使得P3k?1为1 点P3k绕中心A1顺时针旋转150时所到达的位置，而P3k?2和P3k?3为点P3k?1和P3k?2分别绕中心A2和
?A3顺时针旋转105?时所到达的位置，k?0,1,2,3,?.若对某个n?N，有P3n?P0，试求?A1A2A3的
各个内角的度数及三个顶点A1,A2,A3的排列方向．
四、(训练题23)(本题满分35分)设0??1??2????n，0?b1?b2???bn，且
n?a??b又
iii?1i?1inn存在k(1?k?n)使得当i?k时有bi?ai，当i?k时，有bi?ai.求证：
?a??bii?1i?1n．