发布时间 : 星期六 文章初等数论习题 v2更新完毕开始阅读48edb85f312b3169a451a439
《初等数论》习题集
1. 证明：若m ? p?mn ? pq，则m ? p?mq ? np。
2. 证明：任意给定的连续39个自然数，其中至少存在一个自然数，使得
这个自然数的数字和能被11整除。
3. 设p是n的最小素约数，n = pn1，n1 > 1，证明：若p >3n，则n1是
素数。
4. 证明：存在无穷多个自然数n，使得n不能表示为 a ? p（a > 0是整
数，p为素数）的形式。 5. 证明：12?n4 ? 2n3 ? 11n2 ? 10n，n?Z。
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6. 设3?a ? b，证明：3?a且3?b。
7. 设n，k是正整数，证明：nk与nk + 4的个位数字相同。
8. 证明：对于任何整数n，m，等式n ? (n ? 1) = m ? 2不可能成立。 9. 设a是自然数，问a ? 3a ? 9是素数还是合数？
10. 证明：对于任意给定的n个整数，必可以从中找出若干个作和，使得
这个和能被n整除。 11. 设x，y?Z，17?2x ? 3y，证明：17?9x ? 5y。
12. 设a，b，c?N，c无平方因子，a2?b2c，证明：a?b。
32n?113. 设n是正整数，求C1的最大公约数。 2n,C2n,?,C2n2
222
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14. 设a，b是正整数，证明：(a ? b)[a, b] = a[b, a ? b]。 15. 求正整数a，b，使得a ? b = 120，(a, b) = 24，[a, b] = 144。 16. 设a，b，c是正整数，证明：
[a,b,c]2[a,b][b,c][c,a]k
k
?(a,b,c)2(a,b)(b,c)(c,a)k
。
17. 设k是正奇数，证明：1 ? 2 ? ? ? 9?1 ? 2 ? ? ? 9。
18. 用辗转相除法求整数x，y，使得1387x ? 162y = (1387, 162)。 19. 计算：(27090, 21672, 11352)。
20. 使用引理1中的记号，证明：(Fn + 1, Fn) = 1。
21. 若四个整数2836，4582，5164，6522被同一个大于1的整数除所得的
余数相同，且不等于零，求除数和余数各是多少？ 22. 记Mn = 2n ? 1，证明：对于正整数a，b，有(Ma, Mb) = M(a, b)。 23. 写出22345680的标准分解式。
24. 证明：在1, 2, , 2n中任取n 1数，其中至少有一个能被另一个整
1
除。 25. 证明：1?12???1n（n ? 2）不是整数。
26. 设a，b是正整数，证明：存在a1，a2，b1，b2，使得 a = a1a2，b = b1b2，
(a2, b2) = 1，并且[a, b] = a2b2。 27. 求使12347!被35整除的最大的k值。 28. 设n是正整数，x是实数，证明：?[r?1?k
n?22rr?1]= n。
29. 设n是正整数，求方程 x2 ? [x2] = (x ? [x])2 在[1, n]中的解的个数。 30. 证明：方程 f(x) = [x] ? [2x] ? [22x] ? [23x] ? [24x] ? [25x] = 12345没有实数解。
31. 证明：在n!的标准分解式中，2的指数h = n ? k，其中k是n的二进
制表示的位数码之和。
32. 证明：若2n ? 1是素数，则n是2的乘幂。 33. 证明：若2n ? 1是素数，则n是素数。 34. 证明：形如6n ? 5的素数有无限多个。
35. 设d 是正整数，6?|d，证明：在以d为公差的等差数列中，连续三项都是素数的情况最多发生一次。
36. 证明：对于任意给定的正整数n，必存在连续的n个自然数，使得它
们都是合数。 37. 证明：级数?n?1?1pn发散，此处使用了定理1注2中的记号。
38. 求8
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被13除的余数。
39. 设f(x)是整系数多项式，并且f(1), f(2), ?, f(m)都不能被m整除，则f(x)
= 0没有整数解。 40. 已知99?62??427，求?与?。
41. 证明：若2p ? 1是奇素数，则 (p!)2 ? (?1)p ? 0 (mod 2p ? 1)。 42. 证明：若p是奇素数，N = 1 ? 2 ? ? ? ( p ? 1)，则 (p ? 1)! ? p ? 1 (mod
N)。 43. 证明Wilson定理的逆定理：若n > 1，并且 (n ? 1)! ? ?1 (mod n)，则
n是素数。 44. 设m是整数，4?m，{a1, a2, ?, am}与{b1, b2, ?, bm}是模m的两个完全
剩余系，证明：{a1b1, a2b2, ?, ambm}不是模m的完全剩余系。 45. 设m1, m2, ?,mn是两两互素的正整数，?i（1 ? i ? n）是整数，并且 ?i
2
? 1 (mod mi)，1 ? i ? n，?i ? 0 (mod mj)，i ? j，1 ? i, j ? n。
46. 证明：当bi通过模mi（1 ? i ? n）的完全剩余系时， b1?1 ? b2?2 ? ? ? bn?n 通过模m = m1m2?mn的完全剩余系。 47. 设m1, m2, ?, mn是两两互素的正整数，xi分别通过模mi的简化剩余系
（1 ? i ? n），m = m1m2?mn，Mi =过模m的简化剩余系。
48. 设m > 1，(a, m) = 1，x1, x2, ?, x?(m)是模m的简化剩余系，证明：
?(m)i?1mmi，则 M1x1 ? M2x2 ? ? ? Mnxn 通
?{axim}?12?(m)。其中{x}表示x的小数部分。
49. 设m与n是正整数，证明：?(mn)?((m, n)) = (m, n)?(m)?(n)。
50. 设a，b是任意给定的正整数，证明：存在无穷多对正整数m与n，使
得 a?(m) = b?(n)。 51. 设n是正整数，证明： (ⅰ) ?(n) >
? n ?n。
52. 证明：1978103 ? 19783能被103整除。
53. 求313被7除的余数。 54. 证明：对于任意的整数a，(a, 561) = 1，都有a560 ? 1 (mod 561)，但561
是合数。
55. 设p，q是两个不同的素数，证明：p56. 将612 ? 1分解成素因数之积。 57. 求?d|n12n； (ⅱ) 若n是合数，则?(n)
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q ? 1
? q
p ? 1
? 1 (mod pq)。
1d。
58. 设f(n)是积性函数，证明：(ⅰ) ??(d)f(d)??(1?f(p))
d|np|n(ⅱ) ??2(d)f(d)??(1?f(p))。
d|np|n59. 求?(n)的Mobius变换。
60. 写出789的二进制表示和五进制表示。 61. 求
821的小数的循环节。
62. 证明：七进制表示的整数是偶数的充要条件是它的各位数字之和为偶
数。
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63. 证明：既约正分数
mn的b进制小数(0?a?1a?2a?3?)b为有限小数的充要
条件是n的每个素因数都是b的素因数。 64. 设连分数? ?1, ?2, ?, ?n, ? ?的第k个渐近分数为
a110?1a210?1a3?0?1??00??????0?10ak?11?1ak000001000a210?1a300?1??0pkqk0????，证明：
000pk?00???0，qk????0??0?10，
?1akak?1165. 设连分数? ?1, ?2, ?, ?n, ? ?的第k个渐近分数为
?a1??1?1??a2???0???11??ak????0???11??pk????0???qkpkqk，证明：
pk?1??，k ? 2。 qk?1??66. 求连分数? 1, 2, 3, 4, 5, ? ?的前三个渐近分数。 67. 求连分数? 2, 3, 2, 3, ? ?的值。
68. 解不定方程：7x ? 9y = 4。 69. 求13的连分数。
70. 求2?3的误差? 10 ? 5的有理逼近。 71. 求sin18?的误差? 10 ? 5的有理逼近。
72. 已知圆周率? = ? 3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 21, ? ?，求?的误差 ? 10 ? 6的
有理逼近。 73. 证明：
1?25连分数展开的第k个渐近分数为
Fk?1Fk。此处{Fn}是
Fibonacci数列。
74. 将方程3x2 ? 2x ? 2 = 0的正根写成连分数。
?,3??之值。 75. 求? = ?1,2276. 设a是正整数，求a?1的连分数。
77. 设无理数d= ? a1, a2, ?, an, ? ?的第k个渐近分数为
pkqk，证明：
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