发布时间 : 星期五 文章初等数论习题 v2更新完毕开始阅读48edb85f312b3169a451a439
?2,?,an,2a?1?的充要条件是 d??a1,apn = a1qn ? qn ?1，dqn = a1pn ?
pn ?1。
78. 设无理数d= ? a1, a2, ?, an, ? ?的第k个渐近分数为
pkqk，且正整数
n使得 pn = a1qn ? qn ?1，dqn = a1pn ? pn ?1，
79. 证明：(ⅰ) 当n为偶数时，pn，qn是不定方程x2 ? dy2 = 1的解；
(ⅱ) 当n为奇数时，p2n，q2n是不定方程x2 ? dy2 = 1的解。 80. 将
17105写成三个既约分数之和，它们的分母分别是3，5和7。
81. 求方程x1 ? 2x2 ? 3x3 = 41的所有正整数解。 82. 求解不定方程组：??x1?2x2?3x3?7?2x1?5x2?20x3?11。
83. 甲班有学生7人，乙班有学生11人，现有100支铅笔分给这两个班，
要使甲班的学生分到相同数量的铅笔，乙班学生也分到相同数量的铅笔，问应怎样分法？
84. 证明：二元一次不定方程ax ? by = n，a > 0，b > 0，(a, b) = 1的非负
整数解的个数为[nab]或[nab]? 1。
85. 设a与b是正整数，(a, b) = 1，证明：1, 2, ?, ab ? a ? b中恰有
(a?1)(b?1)2个整数可以表示成ax ? by（x ? 0，y ? 0）的形式。
86. 设x，y，z是勾股数，x是素数，证明：2z ? 1，2(x ? y ? 1)都是平方
数。
87. 求整数x，y，z，x > y > z，使x ? y，x ? z，y ? z都是平方数。 88. 解不定方程：x2 ? 3y2 = z2，x > 0，y > 0，z > 0，(x, y ) = 1。 89. 证明下面的不定方程没有满足xyz ? 0的整数解。
(ⅰ) x2 ? y2 ? z2 = x2y2；(ⅱ) x2 ? y2 ? z2 = 2xyz。 90. 求方程x2 ? y2 = z4的满足(x, y ) = 1，2?x的正整数解。 91. 求方程x2 ? xy ? 6 = 0的整数解。 92. 求方程组??x?y?z?0?x?y?z??18333的整数解。
93. 求方程2x ? 3y = 1的正整数解。 94. 求方程
1x?1y?1z的正整数解。
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95. 设p是素数，求方程
2p?1x?1y的整数解。
96. 设2n ? 1个有理数a1, a2, ?, a2n ? 1满足条件P：其中任意2n个数可以
分成两组，每组n个数，两组数的和相等，证明：a1 = a1 = ? = a2n ? 1。 97. 解同余方程：(ⅰ) 31x ? 5 (mod 17)；(ⅱ) 3215x ? 160 (mod 235)。 98. 解同余方程组：??3x?5y?38(mod47)?x?y?10(mod47)。
99. 设p是素数，0 < a < p，证明：
x?b(?1)a?1(p?1)(p?2)???(p?a?1)a!(mod p)。 是同余方程ax ? b
(mod p)的解。
100. 证明：同余方程a1x1 ? a2x2 ? ? ? anxn ? b (mod m)有解的充要条件是
(a1, a2, ?, an, m) = d?b。若有解，则恰有d?mn ?1个解，mod m。 101. 解同余方程：2x ? 7y ? 5 (mod 12)。
?x??x102. 解同余方程组：??x?x??b1(mod5)?b2(mod6)?b3(mod7)
?b4(mod11)。?x?8(mod15)?103. 解同余方程组：?x?5(mod8)
?x?13(mod25)。?104. 有一队士兵，若三人一组，则余1人；若五人一组，则缺2人；若十
一人一组，则余3人。已知这队士兵不超过170人，问这队士兵有几人？
105. 求一个最小的自然数n，使得它的
方数，它的
1512是一个平方数，它的是一个立
31是一个5次方数。
106. 证明：对于任意给定的n个不同的素数p1, p2, ?, pn，必存在连续n个整数，使得它们中的第k个数能被pk整除。
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107. 解同余方程：3x ? 11x ? 20 ? 0 (mod 105)。 108. 解同余方程x2 ? ?1 (mod 54)。
109. 解同余方程f(x) = 3x2 ? 4x ? 15 ? 0 (mod 75)。
110. 证明：对于任意给定的正整数n，必存在m，使得同余方程x ? 1 (mod
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m)的解数T > n。
111. 解同余方程：(ⅰ) 3x11 ? 2x8 ? 5x4 ? 1 ? 0 (mod 7)； (ⅱ) 4x20 ? 3x12 ? 2x7 ? 3x ? 2 ? 0 (mod 5)。
112. 判定 (ⅰ) 2x3 ? x2 ? 3x ? 1 ? 0 (mod 5)是否有三个解；
(ⅱ) x6 ? 2x5 ? 4x2 ? 3 ? 0 (mod 5)是否有六个解？
113. 设(a, m) = 1，k与m是正整数，又设x0 ? a (mod m)，证明同余方程 x
? a(mod m) 的一切解x都可以表示成x ? yx0 (mod m)，其中y满足同余方程yk ? 1 (mod m)。
n
114. 设n是正整数，p是素数，(n, p ? 1) = k，证明同余方程x ? 1 (mod p)
有k个解。
115. 设p是素数，证明： (ⅰ) 对于一切整数x，xp ? 1 ? 1 ? (x ? 1) (x ? 2)?(x
? p ? 1) (mod p)；(ⅱ) (p ? 1)! ? ? 1 (mod p)。
116. 设p 3是素数，证明：(x 1)(x 2) (x p 1)的展开式中除首项
及常数项外，所有的系数都是p的倍数。 117. 同余方程x2 ? 3 (mod 13)有多少个解？ 118. 求出模23的所有的二次剩余和二次非剩余。
119. 设p是奇素数，证明：模p的两个二次剩余的乘积是二次剩余；两个
二次非剩余的乘积是二次剩余；一个二次剩余和一个二次非剩余的乘积是二次非剩余。 120. 设素数 p ? 3 (mod 4)，()= 1，证明x ? ?npnp?14kk
(mod p)是同余方程 x2
? n (mod p) 的解。
121. 设p是奇素数，(n, p) = 1，?是正整数，证明同余方程 x2 ? n (mod p?)
有解的充要条件是()= 1。
pp?1n122. 设p是奇素数，证明：模p的所有二次剩余的乘积与(?1)余。
2对模p同
123. 已知769与1013是素数，判定方程 (ⅰ) x2 ? 1742 (mod 769)； (ⅱ) x2 ? 1503 (mod 1013)。是否有解。
124. 求所有的素数p，使得下面的方程有解：x2 ? 11 (mod p)。 125. 求所有的素数p，使得 ?2?QR(p)，?3?QR(p)。
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126. 设(x, y) = 1，试求x ? 3y的奇素数因数的一般形式。
127. 证明：形如8k ? 5（k?Z）的素数无穷多个。
128. 证明：对于任意的奇素数p，总存在整数n，使得 p?(n2 ? 1)(n2 ? 2)(n2
? 2)。
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129. 已知3019是素数，判定方程x ? 374 (mod 3019)是否有解。 130. 设奇素数为p = 4n ? 1型，且d?n，证明：()= 1。
pd2
131. 设p，q是两个不同的奇素数，且p = q ? 4a，证明：()?()。
pqaa132. 设a > 0，b > 0，b为奇数，证明：
(a2a?b)?a?()??ba??()b?当a?0，1(mod4)
当a?2，3(mod4)。a4ac?ba133. 设a，b，c是正整数，(a, b) = 1，2?|b，b < 4ac，求()与()的
b关系。
134. 设n是正整数，证明：不定方程x2 ? y2 = zn总有正整数解x，y，z。 135. 设p是奇素数，(k, p) = 1，则 ?(i?0p?1i(i?k)p)??1，此处(ap)是Legender
符号。
136. 设素数p ??1 (mod 4)，(k, p) = 1，记 S(k)??(i?0p?1i(i?k)pa2)，则2?S(k)，
并且，对于任何整数t，有 S(kt2)?()S(k)，此处()是Legender
ppt符号。
137. 设p是奇素数，(22mp)?1，()pn??1，则
m?1，m?2，?，m?(p?12)2，n?12，n?22，?，n?(p?12)2构成模p
的一个简化剩余系。
138. 若(x, y, z) = 1，则不存在整数n，使得 x2 ? y2 ? z2 = 4n2。 139. 设k是非负整数，证明2k不能表示三个正整数平方之和。 140. 证明：每一个正整数n必可以表示为5个立方数的代数和。 141. 证明：16k ? 15型的整数至少需要15个四次方数的和表之。
k
142. 证明：16?31不能表示为15个四次方数的和。 143. 求模14的全部原根。
144. 设m > 1，模m有原根，d是?(m)的任一个正因数，证明：在模m的
简化剩余系中，恰有?(d)个指数为d的整数，并由此推出模m的简化
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