发布时间 : 星期日 文章「精品」高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示学案含解析新人教A版选修2_更新完毕开始阅读49117036fc0a79563c1ec5da50e2524de418d031
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3．1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
空间向量基本定理 [提出问题]
如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，在AB，AD，AD1上分别取单位向量e1，e2，
e3.
问题1：e1，e2，e3共面吗？ 提示：不共面．
―→
问题2：试用e1，e2，e3表示AB1. ―→
提示：AB1＝4e1＋4e2＋4e3.
―→
问题3：若M为A1B1的中点，能否用e1，e1，e3表示AM？ ―→
提示：能，AM＝4e1＋2e2＋4e3.
[导入新知]
空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.
其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． [化解疑难]
1．空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示．
2．由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是0.
3．向量基本定理揭示了向量间的线性关系，即任一向量都可由基向量唯一的线性表示，为向量的坐标表示奠定了基础．
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空间向量的正交分解及其坐标表示
[提出问题]
{a，b，c}是空间的一个基底，{e1，e2，e3}是空间的单位正交基底． 问题1：基底中的每一个基向量一定是非零向量吗？ 提示：一定．
问题2：任一向量p＝xa＋yb＋zc，则数组(x，y，z)是唯一的吗？ 提示：是．
问题3：单位正交基底之间的数量积e1·e2，e1·e3，e2·e3，e1·e1，e2·e2，e3·e3分别为多少？
提示：e1，e2，e3是两两垂直的单位向量，故有e1·e2＝e2·e3＝e1·e3＝0，e1·e1＝e2·e2
＝e3·e3＝1.
[导入新知]
空间向量的正交分解及其坐标表示
(1)单位正交基底：
三个有公共起点O的两两垂直的单位向量e1，e2，e3称为单位正交基底． (2)空间直角坐标系：
以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.
(3)空间向量的坐标表示：
―→对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量OP＝p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3.把x，
y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z)，即点P的坐标
为(x，y，z)．
[化解疑难]
空间向量的坐标顺序必须与基底中的基向量对应，即若基底为{e1，e2，e3}，b＝λe1＋μe2＋ke3，则b的坐标为(λ，μ，k).
空间向量基本定理的理解
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―→―→
[例1] 已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且OA＝e1＋2e2－e3，OB＝－3e1＋e2＋―→―→―→―→
2e3，OC＝e1＋e2－e3，试判断{OA，OB，OC}能否作为空间的一个基底．
―→―→―→―→
[解] 假设OA，OB，OC共面，由向量共面的充要条件知存在实数x，y，使OA＝
xOB＋yOC成立．
∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)． ＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3. ∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底， ∴e1，e2，e3不共面， －3x＋y＝1，??
∴?x＋y＝2，??2x－y＝－1，
―→―→
此方程组无解，
―→―→―→
即不存在实数x，y，使OA＝xOB＋yOC成立． ―→―→―→
∴OA，OB，OC不共面．
―→―→―→
故{OA，OB，OC}能作为空间的一个基底． [类题通法]
判断给出的三个向量组成的向量组能否作为基底，关键是要判断这三个向量是否共面，首先应考虑三个向量是否是零向量，其次判断三个非零向量是否共面．如果从正面难以入手判断三个向量是否共面，可假设三个向量共面，利用向量共面的充要条件建立方程组，若方程组有解，则三个向量共面；若方程组无解，则三个向量不共面．
[活学活用]
设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底．给出下列向量组： ①{a，b，x}， ②{x，y，z}， ③{b，c，z}， ④{x，y，a＋b＋c}．
其中可以作为空间的基底的向量组有______个．
―→―→―→―→―→
解析：如图，所设a＝AB，b＝AA1，c＝AD，则x＝AB1，y＝AD1，
z＝AC，a＋b＋c＝AC1.由A，B1，D，C四点不共面可知向量x，y，z也不共面．同理可知b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面，可以作为空间的基底．因x＝a＋b，故a，b，x共面，故不能作为基底．
3
―→―→
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答案：3
空间向量基本定理的应用 ―→―→
[例2] 如图，四棱锥P-OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设OA＝a，OC＝b，―→―→―→―→―→OP＝c，E，F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示BF，BE，AE，EF.
[解] 连接BO，
111―→1―→1―→―→1
则BF＝BP＝(BO＋OP)＝(c－b－a)＝－a－b＋c，
2222221――→―→―→→
BE＝BC＋CE＝－a＋CP
21―→―→
＝－a＋(CO＋OP)
211
＝－a－b＋c，
22―→―→―→
AE＝AP＋PE
―→―→1―→―→＝AO＋OP＋(PO＋OC)
21
＝－a＋c＋(－c＋b)
211
＝－a＋b＋c，
22―→1―→1―→1
EF＝CB＝OA＝a.
222[类题通法] 用基底表示向量时：
(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行；
(2)若没给定基底时，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求．
[活学活用]
如图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′，点E是上底面A′B′C′D′的中心，求下列各
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