发布时间 : 星期五 文章「精品」高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示学案含解析新人教A版选修2_更新完毕开始阅读49117036fc0a79563c1ec5da50e2524de418d031
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上，且OM＝2MA，点N为BC的中点，则MN＝( )
121A.a－b＋c 232112C.a＋b－c 223
211B．－a＋b＋c
322221D.a＋b－c 332
2―→―→―→1―→―→2―→1
解析：选B 连接ON(图略)，MN＝ON－OM＝(OB＋OC)－OA＝(b＋c)－a2323211
＝－a＋b＋c.
322
3．设{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，a＝2i－4j＋5k，b＝i＋2j－3k，则向量a，b的坐标分别为________________．
解析：由空间向量坐标概念知a＝(2，－4,5)，b＝(1,2，－3)． 答案：(2，－4,5)，(1,2，－3)
―→―→―→―→―→―→
4．如图所示，点M是OA的中点，以{OA，OC，OD}为基底的向量DM＝xOA＋yOC―→
＋zOD，则(x，y，z)＝________.
―→―→―→―→1―→
解析：∵DM＝DO＋OM＝－OD＋OA，
2―→―→―→―→又∵DM＝xOA＋yOC＋zOD 1
∴x＝，y＝0，z＝－1.
2
?1?答案：?，0，－1? ?2?
5．棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱DD1，D1C1，BC―→―→―→
的中点，以{AB，AD，AA1}为基底，求下列向量的坐标：
―→―→―→(1)AE，AG，AF； ―→―→―→(2)EF，EG，DG.
1?―→―→―→―→1―→―→1―→?
解：(1)AE＝AD＋DE＝AD＋DD1＝AD＋AA1＝?0，1，?，
2?22?―→―→―→―→1―→?1?
AG＝AB＋BG＝AB＋AD＝?1，，0?，
2?2?
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―→―→―→―→―→―→1―→?1?AF＝AA1＋A1D1＋D1F＝AA1＋AD＋AB＝?，1，1?.
2?2?
→―→1―→??―→1―→?1――→―→―→?―→1―→
(2)EF＝AF－AE＝?AA1＋AD＋ AB→ ?－?AD＋ AA1 ?＝AA1＋AB＝
222????2
?1，0，1?，
?2?2??
―→
1―1―1―→1―→?―→―→―→→―→→→?―
EG＝AG－AE＝?AB＋ AD ?－AD＋AA1 ＝AB－AD－AA1＝
?
2
?
222
?1，－1，－1?， ??22??
1?―→―→―→―→1―→―→―→1―→?
DG＝AG－AD＝AB＋AD－AD＝AB－AD＝?1，－，0?.
2?22?
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一、选择题
1．已知点A(3,2，－3)，则点A关于y轴的对称点的坐标是( ) A．(－3，－2,3) C．(－3,2,3)
B．(－3,2，－3) D．(－3，－2，－3)
解析：选C 由对称定义知选项C正确．
2．设p：a，b，c是三个非零向量，q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B 当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以当基底，否则不能当基底；当{a，b，c}为基底时，一定有a，b，c为非零向量．因此p?/ q，q?p.
3．在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的是( ) ―→
A．向量AB的坐标与点B的坐标相同 ―→
B．向量AB的坐标与点A的坐标相同 ―→―→
C．向量AB与向量OB的坐标相同 ―→―→―→
D．向量AB与向量OB－OA的坐标相同
―→
解析：选D 因为A点不一定为坐标原点，所以A不正确；B，C都不正确；由于AB＝―→―→
OB－OA，所以D正确．
4．已知空间四边形OABC，其对角线为AC，OB，M，N分别是OA，BC的中点，点G是MN10
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的中点，则OG等于( )
1―→1―→1―→A.OA＋OB＋OC 6331―→―→―→B.(OA＋OB＋OC) 41―→―→―→C.(OA＋OB＋OC) 31―→1―→1―→D.OB＋OA＋OC 633解析：选B 如图，
―→1―→―→OG＝(OM＋ON)
21―→11―→―→＝OM＋×(OB＋OC) 2221―→1―→1―→＝OA＋OB＋OC 4441―→―→―→＝(OA＋OB＋OC)． 4
―→―→―→
5．若向量MA，MB，MC的起点与终点互不重合且无三点共线，且满足下列关系(O―→―→―→
是空间任一点)，则能使向量MA，MB，MC成为空间一个基底的关系是( )
―→1―→1―→1―→A．OM＝OA＋OB＋OC
333―→―→―→
B．MA≠MB＋MC ―→―→―→―→C．OM＝OA＋OB＋OC ―→―→―→D．MA＝2MB－MC
―→―→―→
解析：选C 若MA，MB，MC为空间一组基底向量，则M，A，B，C四点不共面．选―→―→1―→1―→2―→1―→―→1―→
项A中点M，A，B，C共面，因为OM－OA＝OB＋OC－OA＝(OB－OA)＋(OC－
33333―→―→1―→1―→―→―→―→―→―→
OA)?AM＝AB＋AC；选项B中可能共面，MA≠MB＋MC，但可能MA＝λMB＋
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μMC；选项D中的四点显然共面．
二、填空题
6．设{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，a＝4e1－8e2＋3e3，b＝－2e1－3e2
＋7e3，则a，b的坐标分别为______________________．
解析：由于{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底， 所以a＝(4，－8,3)，b＝(－2，－3,7)． 答案：(4，－8,3)，(－2，－3,7)
7．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＝______，y＝________.
解析：因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋λc， 1＝λx，??
于是有?－1＝λy，
??1＝λ，答案：1 －1
―→―→8．正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心，若EF＋λA1D＝0(λ∈R)，则λ＝________.
解析：如图，连接A1C1，C1D，
??x＝1，解得?
?y＝－1.?
则E在A1C1上，F在C1D上， 1
易知EF綊A1D.
2―→1―→∴EF＝A1D，
2―→1―→
即EF－A1D＝0.
21
∴λ＝－.
21
答案：－
2
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