发布时间 : 星期五 文章「精品」高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示学案含解析新人教A版选修2_更新完毕开始阅读49117036fc0a79563c1ec5da50e2524de418d031
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三、解答题
9．已知{a，b，c}是空间的一个基底，{a＋b，a－b，c}为空间的另一个基底，若向量
p在基底{a，b，c}下的坐标为(1,2,3)，试求向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标．
解：设向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x，y，z)， 则p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋z c ＝(x＋y)a＋(x－y)b＋z c.
又∵p在基底{a，b，c}下的坐标为(1,2,3)， 即p＝a＋2b＋3c，
∴(x＋y)a＋(x－y)b＋z c＝a＋2b＋3c，
?x＋y＝1，∴?
?x－y＝2，??z＝3，
?x＝3
2
，
解得??1?y＝－，?2
z＝3.
∴p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标是31
2，－2
，3.
10．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点，求证：EF⊥AB1.
证明：设―AB→＝a，―AA→―→
1＝b，AD＝c， 则―EF→＝―EB→＋―B→1―→―→11F＝2
(BB1＋B1D1)
＝12(―AA→―→1―→―→―→1
1＋BD)＝2(AA1＋AD－AB)＝2(－a＋b＋c)， ―AB→―→―→―→―→
1＝AB＋BB1＝AB＋AA1＝a＋b. ∴―EF→·―AB→1
1＝2(－a＋b＋c)·(a＋b)
＝12(|b|2－|a|2
)＝0. ∴―EF→⊥―AB→
1，即EF⊥AB1.
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