发布时间 : 星期二 文章2020版新高考理科数学考前专题强化训练：(十六) 解三角形 Word版含解析更新完毕开始阅读497a599be3bd960590c69ec3d5bbfd0a7856d51d
2020版新高考理科数学考前专题强化训练
(十六) 解三角形
1．[2019·天津卷]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＋c＝2a,3csinB＝4asinC.
(1)求cosB的值； π??
(2)求sin?2B＋?的值．
6??解：(1)在△ABC中，由正弦定理
bsinB＝
csinC，得bsinC＝csinB，又由3csinB42
＝4asinC，得3bsinC＝4asinC，即3b＝4a.又因为b＋c＝2a，得到b＝a，c＝
33
a.由余弦定理可得
16
9a＋c－b1
cosB＝＝＝－.
2ac24
2·a·a3
2
2
2
a2＋a2－a2
49
15
(2)由(1)可得sinB＝1－cosB＝，
4
2
从而sin2B＝2sinBcosB＝－
15， 8
7
cos2B＝cos2B－sin2B＝－，
8
π?ππ15371?2B＋?＝sin2Bcos＋cos2Bsin＝－故sin?×－×＝－
6?668282?35＋7
. 16
2．[2019·石家庄一模]已知△ABC的面积为33，且内角A，B，C依次成等差数列．
(1)若sinC＝3sinA，求边AC的长；
(2)设D为AC边的中点，求线段BD长的最小值． 解：(1)∵△ABC三个内角A、B、C依次成等差数列， ∴B＝60°.
设A、B、C所对的边分别为a、b、c，
1
由△ABC的面积S＝33＝acsinB可得ac＝12.
2
∵sinC＝3sinA，由正弦定理知c＝3a， ∴a＝2，c＝6.
在△ABC中，由余弦定理可得
b2＝a2＋c2－2accosB＝28， ∴b＝27，即AC的长为27. (2)∵BD是AC边上的中线， 1→→→
∴BD＝(BC＋BA)，
2
1111
∴→BD2＝(→BC2＋→BA2＋2→BC·→BA)＝(a2＋c2＋2accosB)＝(a2＋c2＋ac)≥(2ac4444＋ac)＝9，当且仅当a＝c时取“＝”，
∴|→BD|≥3，即BD长的最小值为3.
3．[2019·合肥质检二]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin2A＋sin2B＋sinAsinB＝2csinC，△ABC的面积S＝abc.
(1)求角C；
(2)求△ABC周长的取值范围．
1
解：(1)由S＝abc＝absinC可得2c＝sinC，
2∴sin2A＋sin2B＋sinAsinB＝sin2C， 由正弦定理得a2＋b2＋ab＝c2， 12π
由余弦定理得cosC＝－，∴C＝. 23(2)由(1)知2c＝sinC，同理可知2a＝sinA， 2b＝sinB. △ABC的周长为
1
2
a＋b＋c＝(sinA＋sinB＋sinC) 13?π?
＝[sinA＋sin?－A?]＋ 24?3??1?331
＝?sinA＋cosA－sinA?＋ 2?22?4?1?133
＝?sinA＋cosA?＋ 2?22?4π?13?
＝sin?A＋?＋.
3?42?
π?π?π2π??
∵A∈?0，?，∴A＋∈?，?，
3?3?3?3?π??3??
∴sin?A＋?∈?，1?，
3??2??
?32＋3?
?. ∴△ABC周长的取值范围为?，24??
4．[2019·武汉4月调研]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝10
4
，B＝2A，b＝15.
(1)求a；
(2)已知M在边BC上，且
CMMB＝1
2
，求△CMA的面积． 解：(1)由0 4，知sinA＝4， ∴sinB＝sin2A＝2sinAcosA＝2×6104×4＝15 4 ， 由正弦定理 asinA＝ bcsinB＝ sinC可知， a＝bsinAsinB＝6. (2)cosB＝cos2A＝2cos2 A－1＝2×?? 10??4?2? －1＝1 4， sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝61101536 4×4＋4×4＝8，△ABC的面积S1136915 △ABC＝2ab·sinC＝2×6×15×8＝8 ， 又CMMB＝111915315 2，∴S△CMA＝3S△ABC＝3×8＝8 . 5．[2019·济南模拟]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bsinC＝acosC＋ccosA，B＝ 2π 3 ，c＝3. (1)求角C； (2)若点E满足→AE＝2→EC，求BE的长． 解：(1)解法一：由题设及正弦定理得 2sinBsinC＝sinAcosC＋sinCcosA， 又sinAcosC＋sinCcosA＝sin(A＋C)＝sin(π－B)＝sinB， 所以2sinBsinC＝sinB. 31 由于sinB＝≠0，所以sinC＝. 22又0 ππ，所以C＝. 36 解法二：由题设及余弦定理可得 a2＋b2－c2b2＋c2－a2 2bsinC＝a×＋c×， 2ab2bc化简得2bsinC＝b. 1 因为b>0，所以sinC＝. 2又0 ππ，所以C＝. 36 解法三：由2bsinC＝acosC＋ccosA， 结合b＝acosC＋ccosA，可得2bsinC＝b. 1 因为b>0，所以sinC＝. 2ππ 又0 36(2)解法一：由正弦定理易知 bsinB＝ csinC＝23，解得b＝3. 22 又→AE＝2→EC，所以AE＝AC＝b，即AE＝2. 332π 在△ABC中，因为∠ABC＝π，C＝， 36所以A＝ π ， 6 π 所以在△ABE中，A＝，AB＝3，AE＝2， 6由余弦定理得 BE＝AB2＋AE2－2AB·AEcos＝ 3 ＝1， 2 π6 3＋4－2×3×2×所以BE＝1. 2ππ 解法二：在△ABC中，因为∠ABC＝π，C＝，所以A＝，a＝c＝3. 366