发布时间 : 星期一 文章2012年湖南省益阳市中考数学试卷更新完毕开始阅读4998d50cba68a98271fe910ef12d2af90242a83a
17．（2012?益阳）超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图，观测点设在A处，离益阳大道的距离（AC）为30米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B处行驶到C处所用的时间为8秒，∠BAC=75°． （1）求B、C两点的距离；
（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？ （计算时距离精确到1米，参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.732，，60千米/小时≈16.7米/秒）
考点： 解直角三角形的应用。 专题： 计算题。 分析： （1）由于A到BC的距离为30米，可见∠C=90°，根据75°角的三角函数值求出BC的
距离；
（2）根据速度=路程÷时间即可得到汽车的速度，与60千米/小时进行比较即可． 解答： 解：（1）法一：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=75°，AC=30，
∴BC=AC?tan∠BAC=30×tan75°≈30×3.732≈112（米）．…（5分） 法二：在BC上取一点D，连接AD，使∠DAB=∠B，则AD=BD， ∵∠BAC=75°，∴∠DAB=∠B=15°，∠CDA=30°， 在Rt△ACD中，∠ACD=90°，AC=30，∠CDA=30°， ∴AD=60，CD=，BC=60+≈112（米） …（5分）
（2）∵此车速度=112÷8=14（米/秒）＜16.7 （米/秒）=60（千米/小时） ∴此车没有超过限制速度．…（8分） 点评： 本题考查了解直角三角形的应用，理解正切函数的意义是解题的关键． 18．（2012?益阳）为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进A、B两种树苗共17棵，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元．
（1）若购进A、B两种树苗刚好用去1220元，问购进A、B两种树苗各多少棵？
（2）若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
考点： 一元一次不等式的应用；一元一次方程的应用。 分析： （1）假设购进A种树苗x棵，则购进B种树苗（17﹣x）棵，利用购进A、B两种树苗
刚好用去1220元，结合单价，得出等式方程求出即可；
（2）结合（1）的解和购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，可找出方案． 解答： 解：（1）设购进A种树苗x棵，则购进B种树苗（17﹣x）棵，根据题意得：
80x+60（17﹣x ）=1220， 解得：x=10， ∴17﹣x=7，
答：购进A种树苗10棵，B种树苗7棵；
（2）设购进A种树苗x棵，则购进B种树苗（17﹣x）棵， 根据题意得： 17﹣x＜x， 解得：x＞
，
购进A、B两种树苗所需费用为80x+60（17﹣x）=20x+1020， 则费用最省需x取最小整数9， 此时17﹣x=8，
这时所需费用为20×9+1020=1200（元）．
答：费用最省方案为：购进A种树苗9棵，B种树苗8棵．这时所需费用为1200元． 点评： 此题主要考查了一元一次不等式组的应用以及一元一次方程应用，根据一次函数的增减
性得出费用最省方案是解决问题的关键．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 19．（2012?益阳）观察图形，解答问题：
（1）按下表已填写的形式填写表中的空格： 图① 图② 图③ 三个角上三个数的积 1×（﹣1）×2=﹣2 （﹣3）×（﹣4）×（﹣5）=﹣60 三个角上三个数的和 1+（﹣1）+2=2 积与和的商 ﹣2÷2=﹣1， （﹣3）+（﹣4）+（﹣5）=﹣12 （2）请用你发现的规律求出图④中的数y和图⑤中的数x．
考点： 规律型：数字的变化类。 分析： （1）根据图形和表中已填写的形式，即可求出表中的空格；
（2）根据图①②③可知，中间的数是三个角上的数字的乘积与和的商，列出方程，即可求出x、y的值． 解答： 解：（1）图②：（﹣60）÷（﹣12）=5，
图③：（﹣2）×（﹣5）×17=170， （﹣2）+（﹣5）+17=17， 170÷10=17． 三个角上三个数的积 三个角上三个数的和 积与和的商 图① 1×（﹣1）×2=﹣2 图② 图③ （﹣3）×（﹣4）×（﹣5）（﹣2）×（﹣5）×17=170 =﹣60 1+（﹣1）+2=2 （﹣3）+（﹣4）+（﹣5）（﹣2）+（﹣5）+17=17 =﹣12 ﹣2÷2=﹣1， （﹣60）÷（﹣12）=5， 170÷10=17 （2）图④：5×（﹣8）×（﹣9）=360， 5+（﹣8）+（﹣9）=﹣1， y=360÷（﹣12）=﹣30，
图⑤：=﹣3，
解得x=﹣2；． 点评： 此题考查了数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规
律解决问题是应该具备的基本能力．
20．（2012?益阳）已知：如图，抛物线y=a（x﹣1）+c与x轴交于点A（，0）和点B，将抛物线沿x轴向上翻折，顶点P落在点P'（1，3）处． （1）求原抛物线的解析式；
（2）学校举行班徽设计比赛，九年级5班的小明在解答此题时顿生灵感：过点P'作x轴的平行线交抛物线于C、D两点，将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉，设计成一个“W”型的班徽，“5”的拼音开头字母为W，“W”图案似大鹏展翅，寓意深远；而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽（CD）的比非常接近黄金分割比算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少？（参考数据：保留根号）
（约等于0.618）．请你计，
，结果可
2
考点： 二次函数的应用。 分析： （1）利用P与P′（1，3）关于x轴对称，得出P点坐标，利用待定系数法求出二次函数
的解析式即可；
（2）根据已知得出C，D两点坐标，进而得出“W”图案的高与宽（CD）的比． 解答： 解：（1）∵P与P′（1，3）关于x轴对称，
∴P点坐标为（1，﹣3）； …（2分）
∵抛物线y=a（x﹣1）+c过点A（∴
；…（3分）
2
，0），顶点是P（1，﹣3），
解得；…（4分）
2
则抛物线的解析式为y=（x﹣1）﹣3，…（5分）
2
即y=x﹣2x﹣2．
（2）∵CD平行x轴，P′（1，3）在CD上， ∴C、D两点纵坐标为3； …（6分）
2
由（x﹣1）﹣3=3， 解得：
，
，…（7分）
，3），（
，3）
∴C、D两点的坐标分别为（
∴CD=…（8分）
（或约等于0.6124）…（10分）．
∴“W”图案的高与宽（CD）的比=
点评： 此题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的应用，根据已知得出C，
D两点坐标是解题关键．
六、解答题（本题满分12分） 21．（2012?益阳）已知：如图1，在面积为3的正方形ABCD中，E、F分别是BC和CD边上的两点，AE⊥BF于点G，且BE=1． （1）求证：△ABE≌△BCF；
（2）求出△ABE和△BCF重叠部分（即△BEG）的面积； （3）现将△ABE绕点A逆时针方向旋转到△AB′E′（如图2），使点E落在CD边上的点E′处，问△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积是否发生了变化？请说明理由．
考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形。 专题： 几何综合题。 分析： （1）由四边形ABCD是正方形，可得∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC，又由AE⊥BF，由
同角的余角相等，即可证得∠BAE=∠CBF，然后利用ASA，即可判定：△ABE≌△BCF； （2）由正方形ABCD的面积等于3，即可求得此正方形的边长，由在△BGE与△ABE中，∠GBE=∠BAE，∠EGB=∠EBA=90°，可证得△BGE∽△ABE，由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案；
（3）首先由正切函数，求得∠BAE=30°，易证得Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′，可得AB′与AE在同一直线上，即BF与AB′的交点是G，然后设BF与AE′的交点为H，可证得△BAG≌△HAG，继而证得结论． 解答： （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC， ∴∠ABF+∠CBF=90°， ∵AE⊥BF，
∴∠ABF+∠BAE=90°， ∴∠BAE=∠CBF， 在△ABE和△BCF中，
∴△ABE≌△BCF．…（4分）
（2）解：∵正方形面积为3， ∴AB=，…（5分） 在△BGE与△ABE中，