发布时间 : 星期五 文章数学建模案例分析--线性代数建模案例（20例）更新完毕开始阅读49b15403370cba1aa8114431b90d6c85ed3a88c6
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线性代数建模案例汇编
目 录
案例一. 交通网络流量分析问题 ........................................................................................... 1 案例二. 配方问题 ...................................................................................................................... 4 案例三. 投入产出问题 ............................................................................................................. 5 案例四. 平板的稳态温度分布问题....................................................................................... 7 案例五. CT图像的代数重建问题 ........................................................................................ 10 案例六. 平衡结构的梁受力计算 ......................................................................................... 12 案例七. 化学方程式配平问题 .............................................................................................. 15 案例八. 互付工资问题 ........................................................................................................... 16 案例九. 平衡价格问题 ........................................................................................................... 17 案例十. 电路设计问题 ........................................................................................................... 19 案例十一. 平面图形的几何变换 ......................................................................................... 21 案例十二. 太空探测器轨道数据问题 ................................................................................ 23 案例十三. 应用矩阵编制Hill密码 ..................................................................................... 24 案例十四. 显示器色彩制式转换问题 ................................................................................ 25 案例十五. 人员流动问题 ....................................................................................................... 27 案例十六. 金融公司支付基金的流动 ................................................................................ 29
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案例十七. 选举问题 ................................................................................................................ 30 案例十八. 简单的种群增长问题 ......................................................................................... 31 案例十九. 一阶常系数线性齐次微分方程组的求解 ..................................................... 33 案例二十. 最值问题 ................................................................................................................ 35 附录 数学实验报告模板 ....................................................................... 错误!未定义书签。
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案例一. 交通网络流量分析问题
城市道路网中每条道路、每个交叉路口的车流量调查，是分析、评价及改善城市交通状况的基础。根据实际车流量信息可以设计流量控制方案，必要时设置单行线，以免大量车辆长时间拥堵。
【模型准备】 某城市单行线如下图所示, 其中的数字表示该路段每小时按箭头方向行驶的车流量(单位: 辆).
400 500 1 x2 100 3 200 图3 某城市单行线车流量
(1) 建立确定每条道路流量的线性方程组.
(2) 为了唯一确定未知流量, 还需要增添哪几条道路的流量统计? (3) 当x4 = 350时, 确定x1, x2, x3的值.
(4) 若x4 = 200, 则单行线应该如何改动才合理?
【模型假设】 (1) 每条道路都是单行线. (2) 每个交叉路口进入和离开的车辆数目相等.
【模型建立】 根据图3和上述假设, 在①, ②, ③, ④四个路口进出车辆数目分别满足
500 = x1 + x2 ① 400 + x1 = x4 + 300 ②
x2 + x3 = 100 + 200 ③
x4 = x3 + 300 ④ 【模型求解】根据上述等式可得如下线性方程组
?500?x1?x2?x?x4??100?1 ?x2?x3?300???x3?x4?300?其增广矩阵
x3 x1 x4 4 300 2 300 .
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?1?1(A, b) =?0??0?由此可得
1010001?10?101500??1?100?初等行变换?0??????300?0???0300????x1?x4??100??x2?x4?600 ?x?x??300?3401000010?1?100?1600?
?1?300??00??即
?x1?x4?100??x2??x4?600. ?x?x?3004?3为了唯一确定未知流量, 只要增添x4统计的值即可. 当x4 = 350时, 确定x1 = 250, x2 = 250, x3 = 50.
若x4 = 200, 则x1 = 100, x2 = 400, x3 = ?100 < 0. 这表明单行线“③?④”应该改为“③?④”才合理.
【模型分析】(1) 由(A, b)的行最简形可见, 上述方程组中的最后一个方程是多余的. 这意味着最后一个方程中的数据“300”可以不用统计.
?x1?x4?100?x2??x1?500?x1??x2?500?x1?x3?200????(2) 由?x2??x4?600可得?x3?x1?200, ?x3??x2?300, ?x2??x3?300, 这
?x?x?300?x?x?100?x??x?600?x?x?3004?3?41?423?4就是说x1, x2, x3, x4这四个未知量中, 任意一个未知量的值统计出来之后都可以确
定出其他三个未知量的值.
Matlab实验题
某城市有下图所示的交通图, 每条道路都是单行线, 需要调查每条道路每小时的车流量. 图中的数字表示该条路段的车流数. 如果每个交叉路口进入和离开的车数相等, 整个图中进入和离开的车数相等. 220 x1 180 x7 x3 350 x8 x5 160 150 .
300 x2 100 300 x9 x4 x11 500 x12 x6 150 x10 400 290