发布时间 : 星期一 文章高中数学选修2-3第一章计数原理教案更新完毕开始阅读4a77673f580216fc700afdf9
求
mm以按依次填m个空位来考虑An?n(n?1)(n?2)?(n?m?1)， An排列数公式：
mAn?n(n?1)(n?2)?(n?m?1)
（m,n?N?,m?n）
说明：（1）公式特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个 少1，最后一个因数是n?m?1，共有m个因数；
（2）全排列：当n?m时即n个不同元素全部取出的一个排列 全排列数：
nAn?n(n?1)(n?2)?2?1?n!（叫做n的阶乘）
另外，我们规定 0! =1 .
例1．用计算器计算： (1）A10； (2）A18; (3）A18解：用计算器可得：
451813. ?A13
由（ 2 ) ( 3 ）我们看到，A18nAnn!. A?n?m?An?m(n?m)!mn51813．那么，这个结果有没有一般性呢？即 ?A18?A13排列数的另一个计算公式：
mAn?n(n?1)(n?2)?(n?m?1)
Annn(n?1)(n?2)?(n?m?1)(n?m)?3?2?1n!?=n?m?(n?m)(n?m?1)?3?2?1(n?m)!An?m即
m=An.
n! (n?m)! 例2．解方程：3
322Ax?2Ax?1?6Ax．
解：由排列数公式得：3x(x?1)(x?2)?2(x?1)x?6x(x?1)， ∵x?3，∴ 3(x?1)(x?2)?2(x?1)?6(x?1)，即3x2?17x?10?0，
?5或x?解得 x2?，∵x?3，且x?N，∴原方程的解为x?5． 3x例3．解不等式：A9?6A9x?2．
解：原不等式即
9!9!， ?6?(9?x)!(11?x)!也就是
162，化简得：x?21x?104?0， ?(9?x)!(11?x)?(10?x)?(9?x)!?8或x?13，又∵2?x?9，且x?N?，
解得x所以，原不等式的解集为例4．求证：（1）Ann?2,3,4,5,6,7?．
(2n)!?1?3?5?(2n?1)． n2?n!mn?m（2）?An?An?m；
证明：（1）
mn?mAn?An?m?n!n，∴原式成立 (n?m)!?n!?An(n?m)!（2）
(2n)!2n?(2n?1)?(2n?2)?4?3?2?1?
2n?n!2n?n!2nn?(n?1)?2?1?(2n?1)(2n?3)?3?1?
2n?n!?n!?1?3?(2n?3)(2n?1)?1?3?5?(2n?1)?右边
n!∴原式成立 说明：（1）解含排列数的方程和不等式时要注意排列数的方程和不等式中未知数的取值范围；
（2）公式
mm=An?n(n?1)(n?2)?(n?m?1)常用来求值，特别是m,n均为已知时，公式An?m中，m,n?N且m?n这些限制条件，要注意含排列数Ann!，常用
(n?m)!来证明或化简 例5．化简：⑴
123n?1?????；⑵1?1!?2?2!?3?3!???n?n! 2!3!4!n!⑴解：原式?1!?11111111?????????1?
n!2!2!3!3!4!(n?1)!n!⑵提示：由原式??n?1?!??n?1?n!?n?n!?n!，得n?n!??n?1?!?n!，
?n?1?!?1 n?111??． n!(n?1)!n!第二课时
说明：
例1．(课本例2)．某年全国足球甲级（A组）联赛共有14个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？
解：任意两队间进行1次主场比赛与 1 次客场比赛，对应于从14个元素中任取2个元素的一个排列．因此，比赛的总
场次是
2=14×13=182. A14例2．(课本例3)．(1）从5本不同的书中选 3 本送给 3 名同学，每人各 1 本，共有多少种不同的送法？ (2）从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
解：(1）从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个不同元素中任取 3 个元素的一个排列，因此不同送法的种数是
3=5×4×3=60. A5(2）由于有5种不同的书，送给每个同学的1本书都有 5 种不同的选购方法，因此送给 3 名同学每人各 1 本书的不同方法种数是5×5×5=125.
例 8 中两个问题的区别在于： ( 1 ）是从 5 本不同的书中选出 3 本分送 3 名同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；而（ 2 ）中，由于不同的人得到的书可能相同，因此不符合使用排列数公式的条件，只能用分步乘法计数原理进行计算．
例3．(课本例4)．用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？分析：在本问题的。到 9 这 10 个数字中，因为。不能排在百位上，而其他数可以排在任意位置上，因此。是一个特殊的元素．一般的，我们可以从特殊元素的排列位置人手来考虑问题
解法 1 ：由于在没有重复数字的三位数中，百位上的数字不此可以分两步完成排列．第1步，排百位上的数字，可以从1到9 这中任选 1 个，有A9种选法；第2步，排十位和个位上的数字，可的9个数字中任选2个，有A9种选法（图1.2一 5) ．根据分步原理，所求的三位数有
1A9?A92=9×9×8=648（个） .
21能是O，因九个数字以从余下乘法计数
解法 2 ：如图1.2 一6 所示，符合条件的三位数可分成 3 类．每一位数字都不是位数有 A 母个，个位数字是 O 的三位数有揭个，十位数字是 0 的三位数有揭个．根据分类加法计数原理，符合条件的三位数有
3A9?A92?A92=648个．
解法 3 ：从0到9这10个数字中任取3个数字的排列数为
32，其中 O 在百位上的排列数是A9，它们的差就是用A10这10个数字组成的没有重复数字的三位数的个数，即所求的三位数的个数是
32-A9=10×9×8-9×8=648. A10对于例9 这类计数问题，可用适当的方法将问题分解，而且思考的角度不同，就可以有不同的解题方法．解法 1 根据百位数字不能是。的要求，分步完成选 3 个数组成没有重复数字的三位数这件事，依据的是分步乘法计数原理；解法 2 以 O 是否出现以及出现的位置为标准，分类完成这件事情，依据的是分类加法计数原理；解法 3 是一种逆向思考方法：先求出从10个不同数字中选3个不重复数字的排列数，然后从中减去百位是。的排列数（即不是三位数的个数），就得到没有重复数字的三位数的个数．从上述问题的解答过程可以看到，引进排列的概念，以及推导求排列数的公式，可以更加简便、快捷地求解“从n个不同元素中取出 m (m≤n）个元素的所有排列的个数”这类特殊的计数问题．
1.1节中的例 9 是否也是这类计数问题？你能用排列的知识解决它吗？
四、课堂练习： 1．若x2．与3．若
?n!3n?3n3，则x? （ ）(A)An (B)An (C)A3 (D)An?3 3!3710989不等的是 （ ）(A)A (B)(C)(D)A10?A7A81A10A10 108953，则m的值为 （ ）(A)5 (B)3 (C)6 (D)7 Am?2Am5(m?1)!2A9?3A964．计算： ； ? ． ?n?16Am?(m?n)!9!?A10?15．若2?(m?1)!?42，则m的解集是 ． m?1Am?1mA10?10?9???5，那么m? ； （2）已知9!?362880，那么A97= ；
6．（1）已知（3）已知
222?7AnAn?56，那么n? ； （4）已知An?4，那么n? ．
7．一个火车站有8股岔道，停放4列不同的火车，有多少种不同的停放方法（假定每股岔道只能停放1列火车）？ 8．一部纪录影片在4个单位轮映，每一单位放映1场，有多少种轮映次序？ 答案：1. B 2. B 3. A 4. 1,1 5.
?2,3,4,5,6?
6. (1) 6 (2) 181440 (3) 8 (4) 5 7. 1680 8. 24 教学反思：
排列的特征：一个是“取出元素”；二是“按照一定顺序排列” ,“一定顺序”就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志。根据排列的定义，两个排列相同，且仅当两个排列的元素完全相同，而且元素的排列顺序也相同. 了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算。
对于较复杂的问题，一般都有两个方向的列式途径，一个是“正面凑”，一个是“反过来剔”．前者指，按照要求，一点点选出符合要求的方案；后者指，先按全局性的要求，选出方案，再把不符合其他要求的方案剔出去．了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算。
第三课时
例1．（1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ （2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
解：（1）从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是：
3A5?5?4?3?60，所以，共有60种不同的送法 （2）由于有5种不同的书，送给每个同学的1本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是：5?5?5?125，所以，共有125种不同的送法 说明：本题两小题的区别在于：第（1）小题是从5本不同的书中选出3本分送给3位同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；而第（2）小题中，给每人的书均可以从5种不同的书中任选1种，各人得到那种书相互之间没有联系，要用分步计数原理进行计算 例2．某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？
解：分3类：第一类用1面旗表示的信号有A3种；第二类用2面旗表示的信号有
1A32种；第三类用3面旗表示的信号有
1233种，由分类计数原理，所求的信号种数是：A3?A3?A3?3?3?2?3?2?1?15， A3