发布时间 : 星期一 文章行程之相遇问题（六）环形跑道相遇问题更新完毕开始阅读4ac28c2f647d27284b73514a
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六、环形跑道相遇问题
例1.在一个圆形跑道上，甲从A点、乙从B点同时出发反向而行，8分钟后两人相遇，再过6分钟甲到B点，又过10分钟两人再次相遇，则甲环行一周需要多久?
解析：设跑到全长为S，甲乙第一次相遇共同走了AB，第二次相遇走了S+AB，第一次相遇两人走了8分钟，第二次相遇又走了6+10=16分钟，故两人共同走AB时间是走全长S时间的一半，根据速度和不变情况下，时间与路程成正比，故AB=0.5S，甲走AB用时6+8=14分钟，故甲环形一周用时28分钟。
（16+6）÷8=2 （全程是AB的2倍） （6+8）×2=28（分钟）
答：甲环行一周需要28分钟。
2.甲、乙二人以匀速绕圆形跑道相向跑步，出发点在圆直径的两端。如果他们同时出发，并在甲跑完60米时第一次相遇，在乙跑一圈还差80米时两人第二次相遇，求跑道的长度?
解析，由上题的方法可知，甲乙二人第二次相遇共跑了一圈半，而此时甲跑了60*3=180米，已跑了全长减去80米，故1.5S=S-80+180，解得全长S等于200米。
解：设全长为x米。 1.5x=x-80+60×3 X=200
答：跑道的长度为200米。
例3.甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒钟3米，乙的速度是每秒钟2米。如果他们同时分别从直路的两端出发，10分钟内共相遇了几次?
分析：第一次相遇时行一个全程，用时：90÷(2+3)=18S；此后每次相遇都行两个全程，都用时18×2=36秒，(600-18)÷36=16……4，故10分钟内二者相遇了16+1=17次。
90÷(2+3)=18（秒）
(10×60-18)÷（18×2）=16……4 16+1=17（次）
答：10分钟内共相遇了17次
例4.甲、乙在椭圆形跑道上训练，同时从同一地点出发反向而跑，每人跑完第一圈回到出发点立即回头加速跑第二圈。跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的2/3，甲跑第二圈时速度比第一圈提高了1/3，乙跑第二圈时速度比第一圈提高了1/5，已知甲、乙二人第二次相遇点距第一次相遇点190米，这条椭圆形跑道多长?
解析：如下图所示，A点为出发点，因跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的2/3，故
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第一次相遇点B距A为全程的3/5，当甲跑完一圈到达A点时，乙到达C点，距离A点为1/3，此时甲加速1/3，甲乙速度比变为2:1，故当乙跑完一圈到达A点时甲到达了C点，二者距离为全程的1/3，此时乙加速1/5，甲乙速度比变为4:12/5=5:3，此时变为路程为全长1/3的相遇问题，当甲乙第二次相遇时，乙走了全长1/3的3/8，也就是全长的1/8，所以两次相遇点之间距离BD为全长的3/5-1/8=19/40，故椭圆形跑道全长为190÷19/40=400米。
全程的1/3的相遇时乙返回的路程：【2×（1+×111）】÷【3×（1+）+2×（1+）】53511= 38190÷（31-）=400（米） 2?38答：椭圆形跑道全长为400米。 例5.在400米环形跑道上，A、B两点相距100米。甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，按逆时针方向跑步。甲5米/秒，乙4米/秒。每人每跑100米，都要停10秒钟。那么，甲追上乙需要多少秒钟? 分析：100÷(5-4)=100秒，100×5=500（米），500÷100-1=4（次）一共休息4次。用时100+4×10=140秒。 而乙行了100×4=400米，400÷100-1=3次，用时100+3×10=130秒，乙休息10秒后刚要跑，此时甲追到，所以，甲追上乙用时100+4×10=140（秒）。 100÷(5-4)=100（秒） 100+（100×5÷100-1）×10=140（秒） 答：甲追上乙需要140秒钟。 例5.有甲、乙、丙3人,甲每分钟行走120米,乙每分钟行走100米,丙每分钟行走80米。如果3个人同时同向,从同地出发,沿周长是300米的圆形跑道行走,那么多少分钟之后,3人又可以相聚在跑道上同一处? 分析：甲走完一周需要时间：300÷120=2.5（分钟），乙走完一周需要时间：300÷100=330（分钟），那么再次相聚在跑道同一处的时830间为这三个时间的最小公倍数：[2.5,3,]=30(分钟)
830甲：300÷120=2.5（分钟） 乙：300÷100=3（分钟） 丙：300÷80=（分钟）
830[2.5,3,]=30(分钟)
8（分钟），丙走完一周需要时间：300÷80=
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答：30分钟之后,3人又可以相聚在跑道上同一处。
例6.甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行。现在已知甲走一圈的时间是70分钟，如果在出发后45分钟甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的时间是多少分钟?
分析：甲行走45分钟，再行走70-45=25分钟即可走完一圈。而甲乙两人行45分钟相遇即两人共同走完一圈，所以甲行25分钟的路程相当于乙行走45分钟的路程。甲行走一圈需70分钟，所以乙需：70÷25×45=126（分钟）。
70÷（70-45）×45=126（分钟） 答：乙走一圈的时间是126分钟。 例7.林琳在450米长的环形跑道上跑一圈，已知她前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑4米，那么她的后一半路程跑了多少秒？ 解：设总时间为x秒。 xx×5＋×4=450 229x=900 x=100 100×1=50（秒） 2答：她后一半路程跑了50秒。 例8.甲、乙两人同时从400米的环形路跑道的一点A背向出发，8分钟后两人第三次相遇。已知甲每秒钟比乙每秒钟多行0.1米，两人第三次相遇的地点与A点沿跑道上的最短距离是多少？ 分析：甲、乙两人三次相遇，共行了三个全程，即是3×400=1200（米）。根据题意，甲乙两人的速度和为1200÷8=150（米/分） 因为甲乙两人的每分速度差为0.1×60=6（米/分），所以甲的速度为（150+6）÷2=78（米/分）甲8分钟行的路程为78×8=624（米），离开原点624-400=224米，因为224>400/2，所以400-224=176（米）即为答案。 0.1×60=6（米/分） 甲速：（3×400÷8+6）÷2=78（米/分） 78×8-400=224米>400/2 400-224=176（米） 答：两人第三次相遇的地点与A点沿跑道上的最短距离是176米。
基本习题：
1.在一个圆形跑道上，甲从A点、乙从B点同时出发反向而行，10分钟后两人相遇，再过8分钟甲到B点，又过12分钟两人再次相遇，则甲环行一周需要多久?
2.甲、乙二人以匀速绕圆形跑道相向跑步，出发点在圆直径的两端。如果他们同时出发，并在甲跑完120米时第一次相遇，在乙跑一圈还差160米时两人第二次相遇，求跑道的长度?
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3.甲乙两人在相距180米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒钟5米，乙的速度是每秒钟4米。如果他们同时分别从直路的两端出发，10分钟内共相遇了几次?
1.
解析：设跑到全长为S，甲乙第一次相遇共同走了AB，第二次相遇走了S+AB，第一次相遇两人走了10分钟，第二次相遇又走了8+12=20分钟，故两人共同走AB时间是走全长S时间的一半，根据速度和不变情况下，时间与路程成正比，故AB=0.5S，甲走AB用时6+8=14分钟，故甲环形一周用时28分钟。
（12+8）÷10=2 （全程是AB的2倍） （10+8）×2=36（分钟）
答：甲环行一周需要36分钟。
2. 解析，由上题的方法可知，甲乙二人第二次相遇共跑了一圈半，而此时甲跑了120×3=360米，已跑了全长减去160米，故1.5S=S-160+360，解得全长S等于400米。
解：设全长为x米。 1.5x=x-160+120×3 X=400
答：跑道的长度为400米。
3.分析：第一次相遇时行一个全程，用时：180÷(5+4)=20S；此后每次相遇都行两个全程，都用时20×2=40秒，(600-20)÷40=14……20，故10分钟内二者相遇了14+1=15次。
180÷(5+4)=20（秒） (10×60-20)÷（20×2）=14……20 14+1=15（次）
答：10分钟内甲乙共相遇了15次。
4.甲、乙在椭圆形跑道上训练，同时从同一地点出发反向而跑，每人跑完第一圈回到出发点立即回头加速跑第二圈。跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的3/5，甲跑第二圈时速度比第一圈提高了1/5，乙跑第二圈时速度比第一圈提高了1/3，已知甲、乙二人第二次相遇点距第一次相遇点218米，这条椭圆形跑道多长?
5.在400米环形跑道上，A、B两点相距200米。甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，按逆时针方向跑步。甲5米/秒，乙4米/秒。每人每跑100米，都要停10秒钟。那么，甲追上乙需要多少秒钟?
6. 甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行。现在已知甲走一圈的时间是140分钟，如果在出发后90分钟甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的时间是
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