发布时间 : 星期三 文章混沌电路的设计与研究电子专业论文更新完毕开始阅读4ae78c785acfa1c7aa00ccb4
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路。由图可以看出：
ui iR?ic?Ruo??uc??其中RC为积分时间常数。
(3.6)
11icdt??uidt??CRC (3.7)
2.电路的状态变量分析法
对于一个电路系统的分析，其实质就是建立描述这一系统特性的数学模型并求出其解。在建立数学模型方面常使用的方法主要有两种：第一种是输入输出法，俗称端口法，第二种就本节介绍的状态变量分析法。对于端口法，它只关心系统的输入和输出之间的关系，主要是研究系统激励与响应之间的直接关系，并不涉及系统的内部变量的情况。这种方法一般用在单输入、单输出系统中。但是随着系统复杂化，输入与输出有时是多个的，有时还要了解系统内部的情况 ，这时候状态变量分析法就比较适用。
状态变量分析法采用两组方程来描述系统：
(1)状态方程，它描述系统内部状态变量与激励之间的关系； (2)输出方程，它描述系统的响应与状态变量和激励的关系。
与端口法比较，状态变量分析法主要有以下两个方面的优点：第一，从应用范围上看状态变量分析法不仅可以应用于线性时不变系统，还可以经过推广应用于线性时变系统和非线性系统，第二，它除了能解出系统的响应外，还提供了系统内部的情况，使我们能同时观测并处理几个状态变量，以满足一定的设计要求。
系统的状态实质上是指系统的储能状态，对于不具备储能元件的系统，也就无状态可言。一个动态系统的状态是表示系统的一组最少变量。只要知道t=t0时这组变量和t>t0时系统的激励，那么就可以确定系统在任何t>t0时刻的全部工作情况。该组变量的每一个分量称为状态变量。
系统的状态可用一组状态矢量来描述，状态矢量可以表示成矩阵形式，如下所示：
?x1(t)???x2(t)?X(t)???....? ????xn(t)?用状态变量分析法来分析电路时，一般分两步进行：第一步选定状态变量，并列出用状态变量描述系统的状态方程，它建立了状态变量和激励之间的关系，与此同时还要
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建立响应和激励关系的输出方程；第二步是用系统的初始状态及激励求取状态方程及输出方程的解。
对于较简单的电路系统，可以采用直观法列写状态方程，基本步骤总结如下： (1)选择状态变量。一般要注意选择的状态变量之间一定要相互独立。
(2)列写基本方程。此步骤较为简单，一般根据Kirchhoff电压电流定理，有几个状态变量写几个基本方程。
(3)消去非状态变量。在基本方程中会出现一些变量，他们既不是状态变量也不是已知量，所以要找出它们和状态变量之间的关系，用状态变量将他们消去。这也是所有步骤中最难的一步。
(4)整理方程。
对于非线形电路状态方程的建立与以上步骤类似，只是对电路中的非线性元件要进行特性分析，例如非线性电阻的实现方法，若这个电阻是分段连续变化的，也就是在任何时候都不发生跳变，就可以把这个非线性电阻看成分段的线性电阻，对其特性方程进行分段描述。
（二）蔡氏电路的研究 1.蔡氏电路的提出
Lorenz系统和Chua系统是研究混沌研究领域中具有里程碑意义的两个著名系统。早在20世纪60年代初期，Lorenz发现了第一个混沌吸引子，成为了后人研究混沌理论的出发点和基石。1983年，L.O.Chua提出了著名的Chua电路，首次将混沌与电路这两个不同的领域联系起来，成为了研究混沌电路的一个范例。
蔡氏电路一直是在非线性电路中产生复杂动力学行为最为有效而简单的混沌。1983年，在日本蔡少棠目睹了在基于洛伦兹方程的模拟电路中产生混沌现象的实验，于是他也试图提出一个能够产生混沌的电子电路。他意识到在分阶段性电路中，如果能够提供至少两个不稳定的平衡点（一个提供伸长，另一个折叠轨迹），就可以产生混沌。怀着这种想法，他系统地证明了那些含有简单的由电压控制非线性电阻的三阶分段性电路能够产生混沌现象。证明了电压控制非线性电阻R的驱动点特征应符合至少两个不平衡点的要求，于是，他发现了蔡氏电路。
2.蔡氏电路简介
蔡氏电路是美国贝克莱（Berkeley）大学的蔡少棠教授（Leon.O.Chua）设计的能
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产生混沌行为的最简单的一种自治电路。该电路并不唯一。蔡氏电路在非线性系统及混沌研究中，占有极为重要的地位。最初发现的蔡氏电路实际上是同性质的某一组电路中的一个,这类电路被命名为“蔡氏振荡器”,从而将这一普适性电路与最初定义的“蔡氏电路”加以区别。
蔡氏电路因其简洁性和代表性而成为研究非线性电路中混沌的典范。其电路图和伏安特性曲线如下图3.4所示：
图3.4 蔡氏电路及其伏安特性曲线图
由图3.4可推出电路的状态方程为：
C1 (dVc1/dt)?(1/R)(Vc2?Vc1)?g(Vc1) (3.8)
C2(dVc2/dt) L(diL/dt)?(1/R)(Vc2?Vc1)?iL (3.9)
??(Vc2?R0?iL) (3.10)
其中iL流经电感的电流，Vc1、Vc2分别为C1、C2两端的电压，R、R0分别为两电阻的电阻值。
g(Vc1)为非线性电阻的电导，它是一个三段线性的分段线性函数：
?m0Vc1?E(m1?m0),Vc1?E?g(Vc1)??m1Vc1,Vc1E (3.11)
?m0Vc1?E(m1?m0),Vc1?E?也可以写成：
1g(Vc1)?m0Vc1?(m1?m0)?Vc1?E?Vc1?E??? (3.12)
2蔡氏电路是由电阻电容和电感及蔡氏二极管组成的三阶自治电路，在满足以下条件时能够产生混沌现象：
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(a)非线性元件不少于1个； (b)线性有效电阻不少于1个； (c)储能元件不少于3个。
符合以上标准的最简单电路，典型蔡氏混沌电路。蔡氏电路的运动形态因元件参数值的不同而有本质的不同，可以把电路元件参数值看作控制参数而使蔡氏电路工作在不同的状态。当R为线性电阻时，g为常数，电路为一般振荡电路，此时把C1和C2两端的电压分别输入到示波器的x,y轴，显示的图形是椭圆形；当R为非线性负电阻时，其伏安特性，此时把C1和C2两端的电压分别输入到示波器的x,y轴，调节g的值就会观察到不同的混沌现象。而接下来要做的就是通过各个非线性元件来实现此非线性负电阻，不断地改变电阻R的数值，可以得到各种周期相图和吸引子。
（3）蔡氏电路的模型
蔡氏电路是能产生混沌行为最简单的自治电路，所有应该从三阶自治常微分方程描述的系统中得到的混沌现象能够在蔡氏电路中通过计算机仿真和示波器观察到。蔡氏电路虽然简单，但其中蕴含着丰富和复杂的非线性现象。不须改变电路系统结构，只调整控制参数R，就能获得电路系统不同状态的响应输出信号。
自治动力系统产生混沌现象需要以下条件：系统至少有三个状态变量，并且存在一定的非线性环节。蔡氏电路使用三个储能元件和一个分段线性电阻，电路如图3.5所示。可以把电路分为线性部分和非线性部分。其中线性部分包括：电路R、电感L（含内阻r）和两个电容C1和C2；非线性部分只有一个分段线性电阻Rn，其伏安特性如图3.6所示，非线性电阻采用如图3.7所示的电路进行线性化处理。
图3.5 蔡氏电路图