发布时间 : 星期六 文章山东省临沂、枣庄市2019届高三第二次模拟预测数学（理）试题（解析版）更新完毕开始阅读4aebfc3a0129bd64783e0912a216147917117e80
故y轴上是存在点M（0，±），使得△ABM是以M为直角顶点的等腰直角三角形． 【点评】本题考查了椭圆的方程，直线和椭圆的位置关系，斜率公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题
20．（12分）某普通高中为了解本校高三年级学生数学学习情况，对一模考试数学成绩进行分析，从中抽取了n名学生的成绩作为样本进行统计（该校全体学生的成绩均在[60，150]），按下列分组[60，70），[70，80），[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]作出频率分布直方图，如图l；样本中分数在[70，90）内的所有数据的茎叶图如图2：
根据往年录取数据划出预录分数线，分数区间与可能被录取院校层次如表．
分数 可能被录取院校层次 [60，80） 专科 [80，120） 本科 [120，150] 自招 （1）求n的值及频率分布直方图中的x，y值；
（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为概率，若在该校高三年级学生中任取2人，求此2人都不能录取为专科的概率；
（3）在选取的样本中，从可能录取为自招和专科两个层次的学生中随机抽取3名学生进行调研，用ξ表示所抽取的3名学生中为自招的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望．
【分析】（1）由图2知分数在[70，80）的学生有4名，由图1知，频率为0.008×10＝0.08，由此能求出n的值及频率分布直方图中的x，y值．
（2）能被专科院校录取的人数为6人，抽取的50人中，成绩能被专科院校录取的频率是
，从而从该校高三年级学生中任取1人能被专科院校录取的概率为
，记该
校高三年级学生中任取2人，都不能被专科院校录取的事件为E，由此利用对立事件概率计算公式能求出此2人都不能录取为专科的概率．
（3）选取的样本中能被专科院校录取的人数为6人，成绩能过自招线人数为12人，随
机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出随机变量ξ的分布列和数学期望． 【解答】解：（1）由图2知分数在[70，80）的学生有4名， 又由图1知，频率为0.008×10＝0.08，则0.08＝， 解得n＝同理得x＝y＝
（2）能被专科院校录取的人数为： 50×（0.04+0.08）×10＝6人，
抽取的50人中，成绩能被专科院校录取的频率是：
，
，
＝50，
＝0.01，
＝0.014．
∴从该校高三年级学生中任取1人能被专科院校录取的概率为
记该校高三年级学生中任取2人，都不能被专科院校录取的事件为E， 则此2人都不能录取为专科的概率P（E）＝1﹣（
）＝
2
．
（3）选取的样本中能被专科院校录取的人数为6人，
成绩能过自招线人数为50×（0.012+0.004+0.008）×10＝12人， 又随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3， ∴P（ξ＝0）＝
＝
，
P（ξ＝1）＝＝，
P（ξ＝2）＝＝＝，
P（ξ＝3）＝＝＝，
∴随机变量ξ的分布列为：
ξ P 0 1 2 3 ∴E（ξ）＝＝2．
【点评】本题考查频率、频数、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频率分布直方图、对立事件概率计算公式、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
21．（12分）对于函数y＝f（x）的定义域D，如果存在区间[m，n]?D，同时满足下列条件：①f（x）在[m，n]上是单调函数；②当x∈[m，n]时，f（x）的值域为[2m，2n]，则称区间[m，n]是函数f（x）的“单调倍区间”．已知函数（1）若a＝2，求f（x）在点（e，f（e））处的切线方程； （2）若函数f（x）存在“单调倍区间”，求a的取值范围．
【分析】（1）根据导数的几何意义求切线的斜率，根据点斜式求切线方程根；
（2）根据单调倍区间的定义，设函数f（x）存在“单调倍区间”是[m，n]．，然后对{m，n]按照3种情况分类讨论可得．
【解答】解：（1）当a＝2时，f（x）＝2lnx﹣2x（x＞0），
∴当x＞0时，f′（x）＝﹣2，则f′（e）＝﹣2，又f（e）＝2﹣2e， ∴f（x）在 （e，f（e））处的切线方程为y﹣（2﹣2e）＝（﹣2）（x﹣e）， 即y＝（﹣2）x．
．
（2）∵f（x）＝（a＞0），∴f′（x）＝（a＞0），
列表如下：
x f′（x） f（x） （﹣∞，0） ﹣ 减 （0，） + 增 0 极大值 （，+∞） ﹣ 减 设函数f（x）存在“单调倍区间”是[m，n]．
①当m＜n≤0时，由f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，则有两式相减，得
﹣
＝2（n﹣m），
，
即∴
﹣+
＝2（＝，代入
﹣）（+得
），
，要使此关于m，n的方程组在m＜n≤0时有解，则使得y＝2a与y
＝2x﹣x+（x≥0）的图象有两个公共点．
又y＝2x﹣x+＝2（x﹣）+，当x＝时，ymin＝，当x＝0时，y＝． 结合两函数图象，须有＜2a
，即
＜a≤．
，]，
2
2
2
即此时满足f（x）存在“单调倍区间”的a的取值范围是（
②当0＜m＜n≤时，由（fx）在（0，）上单调递增，则有，即，
设g（x）＝，则g′（x）＝，
当x∈（0，e）时，g′（x）＞0，g（x）为增函数， 当x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）为减函数， 要使方程＝
有两解，须使y＝与y＝
的图象在（0，]有两个交点．
结合两函数图象，须有，即，
解得4e＜a≤2e，
即此时满足f（x）存在“单调倍区间“的a的取值范围是（4e，2e]， ③当＜m＜n时，由f（x）在（，+∞）上单调函数，则有
，
2
2
两式相减，得a（lnm﹣lnn）＝0，此式不成立，即此时f（x）不存在“单调倍区间”． 综上，函数f（x）存在“单调倍区间”的a的取值范围是（
，]∪（4e，2e]．
2
【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，属难题．