发布时间 : 星期一 文章18学年高中数学三角恒等变形2第2课时两角和与差的正切函数教学案北师大版4180203295更新完毕开始阅读4b604d687d1cfad6195f312b3169a4517623e576
内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 第2课时 两角和与差的正切函数
[核心必知]
两角和与差的正切公式
名称 两角和 的正切 (Tα＋β) 两角差 的正切 (Tα－β) 公式 tan(α＋β)＝tan α＋tan β 1－tan αtan βtan(α－β)＝tan α－tan β 1＋tan αtan β[问题思考]
对于两角和与差的正切公式，你能写出它的几种变形吗？ 提示：常见的变形公式有：
①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； ②tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)； ③tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)； ④tan(α＋β)－tan α－tan β＝tan αtan βtan(α＋β)； tan α＋tan β
⑤1－tan αtan β＝；
tan（α＋β）tan α－tan β
⑥1＋tan αtan β＝.
tan（α－β）
成立条件 πα，β，α＋β≠kπ＋2(k∈Z) πα，β，α－β≠kπ＋2(k∈Z) - 1 -
讲一讲 1．计算：
1－tan 75°(1)＝________； 1＋tan 75°
(2)tan 10°＋tan 50°＋3tan 10°tan 50°＝________． [尝试解答] (1)法一：∵tan 75°＝tan(45°＋30°) 31＋
33＋3tan 45°＋tan 30°
＝＝＝＝2＋3 1－tan 45°tan 30°33－3
1－
3∴
1－tan 75°1－（2＋3）3＋13
＝＝＝－.
1＋tan 75°31＋2＋33＋3
tan 45°－tan 75°法二：原式＝
1－tan 45°tan 75°＝tan(45°－75°)＝－tan 30°＝－3. 3
tan 10°＋tan 50°(2)∵＝tan 60°，
1－tan 10°tan 50°
∴原式＝tan 60°(1－tan 10°tan 50°)＋3tan 10°tan 50° ＝3－3tan 10°tan 50°＋3tan 10°tan 50°＝3.
利用两角和与差的正切公式解决给角求值问题，关键是对公式的灵活运用，既要会“正用”还要会“逆用”和“变形”用，如进行“1”的代换，常见1＝tan 45°，及变形公式tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)等．
练一练
- 2 -
1．计算：
sin 15°＋cos 15°(1)＝________； sin 15°－cos 15°(2)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)＝________． tan 15°＋1tan 15°＋tan 45°
解析：(1)原式＝＝
tan 15°－1tan 45°tan 15°－1＝－tan(15°＋45°) ＝－tan 60°＝－3.
(2)原式＝1＋tan 23°＋tan 22°＋tan 22°tan 23°
＝1＋tan(22°＋23°)(1－tan 22°tan 23°)＋tan 22°tan 23° ＝1＋1×(1－tan 22°tan 23°)＋tan 22°tan 23°＝2. 答案：(1)－3 (2)2
讲一讲
2π1π
2．已知tan(α＋β)＝，tan(β－)＝，求tan(α＋)．
54442π1
[尝试解答] ∵tan(α＋β)＝，tan(β－)＝，
544ππ
∴tan(α＋)＝tan[(α＋β)－(β－)]
44π21
tan（α＋β）－tan（β－）－4543
＝＝＝. π2122
1＋tan（α＋β）tan（β－）1＋×
454
“给值求值”即给出某些角的三角函数的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于先用公式分析待求问题需要什么，然后利用化归的思想，把未知向已知转化．解题过程中需多加注意角的范围，必要时实行拆分角．
31
2．已知sin(π＋θ)＝－，tan φ＝，并且θ是第二象限的角，求tan(θ－φ)的值．
523
解：∵sin(π＋θ)＝－sin θ＝－，
5
- 3 -
3
∴sin θ＝. 5又θ是第二象限角，
42
∴cos θ＝－ 1－sinθ＝－，
5sin θ31
∴tan θ＝＝－，又tan φ＝，
cos θ42tan θ－tan φ
∴tan(θ－φ)＝
1＋tan θtan φ31－－42
＝＝－2.
31
1＋（－）×42
讲一讲
11
3．已知tan(α－β)＝，tan β＝－，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．
27tan α－tan β1
[尝试解答] ∵tan(α－β)＝＝，
1＋tan αtan β21
tan α－（－）
71
∴＝.
12
1＋tan α（－）
71
∴tan α＝. 3
π1
∴tan ＝1＞tan α＝＞0.
43又∵α∈(0，π)， π
∴α∈(0，)．
4π
∴2α∈(0，)．
2
1
∵β∈(0，π)，tan β＝－，
7π
∴β∈(，π)．
2∴－π＜2α－β＜0.
∴tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]
- 4 -