发布时间 : 星期日 文章18学年高中数学三角恒等变形2第2课时两角和与差的正切函数教学案北师大版4180203295更新完毕开始阅读4b604d687d1cfad6195f312b3169a4517623e576
11＋23tan（α－β）＋tan α
＝＝＝1＞0， 1－tan（α－β）tan α11
1－×233π
∴2α－β ＝－.
4
在求角问题中，常常因出现忽视角的范围出现增根而不能排除的错误，因此在解答该类问题时，应尽量缩小角的范围，使得该范围内的角和所求得的函数值一一对应．
练一练
ππ2
3．若tan α，tan β是方程x＋33x＋4＝0的两根，且α，β∈(－，)，则α＋β
22＝________．
解析：由题意得tan α＋tan β＝－33<0，tan α×tan β＝4>0，∴tan α<0，tan βπ
<0，∴α，β∈(－，0)，
2
tan α＋tan β－332
∴α＋β∈(－π，0)而tan(α＋β)＝＝＝3，∴α＋β＝－π.
1－tan αtan β1－432
答案：－π
3
已知tan θ＝1，sin(2θ＋φ)＝3sin φ，试求tan(θ＋φ)的值． π
[错解] 由tan θ＝1，可设θ＝，
4代入sin(2θ＋φ)＝3sin φ， 得cos φ＝3sin φ， 1
即tan φ＝. 3
π
tan ＋tan φ
4π
∴tan(θ＋φ)＝tan(＋φ)＝ 4π
1－tan tan φ
4
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11＋3＝＝2.
11－3
[错因] 上述解法犯了以特殊代替一般的错误，是不完整的错误解法．本题应注意从tan θπ
＝1解得θ＝kπ＋(k∈Z)，从而可把θ代入sin(2θ＋φ)＝3sin φ得解．另外，若注意到
4角的变化：2θ＋φ＝(θ＋φ)＋θ，φ＝(θ＋φ)－θ，仍可得解．
π
[正解] 法一：由tan θ＝1，得θ＝kπ＋(k∈Z)，
4π
故sin(2θ＋φ)＝sin(＋φ)＝cos φ.
2∵sin(2θ＋φ)＝3sin φ， 1
∴tan φ＝. 3
π
tan ＋tan φ
4π
∴tan(θ＋φ)＝tan(＋φ)＝ 4π
1－tan tan φ
411＋3＝＝2.
11－3
法二：由sin(2θ＋φ)＝3sin φ，
可得sin[(θ＋φ)＋θ]＝3sin[(θ＋φ)－θ]． 由两角和、差的正弦公式得
2cos(θ＋φ)sin θ＝sin(θ＋φ)cos θ. ∴2tan θ＝tan(θ＋φ)． ∴tan(θ＋φ)＝2.
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1．tan 195°的值为( )
A．2＋3 B．2－3 C.3－1 D.3－2
解析：选B tan 195°＝tan 15°＝tan(45°－30°) 3＝1－tan 30°
1－
1＋tan 30°＝3＝2－3. 1＋
3
3
2．已知α∈(π2，π)，sin α＝3π
5，则tan(α＋4)等于( )
A.1
7 B．7 C．－1
7
D．－7
解析：选A ∵sin α＝3π
5，α∈(2，π)，
∴cos α＝－1－sin2
α＝－45. ∴tan α＝sin α3
cos α＝－4
，
∴tan(α＋π
tan α＋tan π
414)＝＝.
1－tan αtan
π7
4
3．已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan αtan β＝( A．2 B．1 C.1
2
D．4 解析：选C 由tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β，得
tan αtan β＝1－tan α＋tan β21
tan（α＋β）＝1－4＝2.
4．已知tan(α－π
4)＝2，则tan α等于________．
解析：∵tan(α－π
4)＝2，
∴
tan α－1
1＋tan α
＝2，
) - 7 -
解得tan α＝－3. 答案：－3
π?1?5．(新课标全国Ⅱ)设θ为第二象限角，若tan?θ＋?＝，则sin θ＋cos θ＝________． 4?2?解析：本题考查同角三角函数关系式以及两角和三角函数公式的基本运用，意在考查考生灵活运用知识解决问题的能力以及合理选取解法的能力．
π?1π?5??法一：由θ在第二象限，且tan?θ＋?＝，因而sin?θ＋?＝－，因而sin θ＋cos
4?24?5??π?10?θ＝2 sin?θ＋?＝－.
4?5?
π?1tan θ＋11?法二：如果将tan?θ＋?＝利用两角和的正切公式展开，则＝，求得tan θ＝
4?21－tan θ2?1132
－.又因为θ在第二象限，则sin θ＝，cos θ＝－，从而sin θ＋cos θ＝－＝3101010－
10
. 5 答案：－10 5
15
6．已知tan α＝，cos β＝－.
35若0°<α<90°<β<180°，求α＋β的值． 解：∵cos β＝－
5
，90°<β<180°， 5
22
∴sin β＝1－cosβ＝5.
5
sin β1
∴tan β＝＝－2，又tan α＝. cos β3tan α＋tan β
∴tan(α＋β)＝＝－1.
1－tan αtan β∵0°<α<90°<β<180°， ∴90°<α＋β<270°. ∴α＋β＝135°.
一、选择题
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