发布时间 : 星期二 文章(名师导学)2020版高考数学总复习-第44讲数学归纳法练习理(含解析)新人教A版更新完毕开始阅读4bd486bbe73a580216fc700abb68a98270feac55
第44讲 数学归纳法
夯实基础 【p94】
【学习目标】
了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 【基础检测】
1.一个关于自然数n的命题,如果验证当n=1时命题成立,并在假设当n=k(k≥1且k∈N)时命题成立的基础上,证明了当n=k+2时命题成立,那么综合上述,对于( )
A.一切正整数命题成立B.一切正奇数命题成立 C.一切正偶数命题成立D.以上都不对
【解析】本题证的是对n=1,3,5,7,…命题成立,即命题对一切正奇数成立. 【答案】B
111*
2.用数学归纳法证明1+++…+n<n(n∈N,n>1),第一步应验证不等式
232-1( )
1
A.1+<2
211B.1++<3
23111C.1+++<3
23411D.1++<2
23
【解析】因n≥2,故应验证n=2,应选D. 【答案】D
3.用数学归纳法证明“2>n+1对于n≥n0的正整数n都成立”时,第一步证明n的起始值n0应取________.
【解析】当n=1时,2=1+1;
当n=2时,2<2+1;当n=3时,2<3+1; 当n=4时,2<4+1;而当n=5时,2>5+1. ∴n0=5. 【答案】5
1
4
2
5
2
2
2
3
2
1
2
*
n2
4.设数列{an}的前n项和为Sn,且对任意的自然数n都有(Sn-1)=anSn,通过计算S1,
2
S2,S3,猜想Sn=________.
122222
【解析】由(S1-1)=S1,得S1=;由(S2-1)=(S2-S1)S2,得S2=;由(S3-1)=(S3
233n-S2)S3,得S3=.猜想:Sn=.
4n+1
【答案】
nn+1
【知识要点】 1.归纳法
由一系列有限的__特殊事例__得出__一般性结论__的推理方法叫做归纳法. 2.数学归纳法
对某些与正整数n有关的数学命题常采用下面的方法来证明它的正确性,先证明当n取第1个值n0时,命题成立;然后假设当n=k(k∈N,k≥n0)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立,这种证明方法叫做__数学归纳法__.
3.数学归纳法证明步骤 (1)数学归纳法的证题步骤
一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行: ①(归纳奠基)证明当n取__第一个值n0__时命题成立.
②(归纳递推)假设__n=k__(k≥n0,k∈N)时命题成立,再证明当__n=k+1__时命题也成立.
只要完成这两个步骤,就可以判定命题对从__n0__开始的所有正整数n都成立. (2)用框图表示数学归纳法的步骤
验证① n=n0 时*
假设②__n=k(k≥n0且k∈N)__时结论成立,
结论成立推得③__n=k+1__时结论亦成立
归纳奠基归纳递推 从而命题对从④ n0 开 始的所有n都成立*
*
典例剖析 【p94】
考点1 用数学归纳法证明等式
111
例1设f(n)=1+++…+(n∈N*).用数学归纳法证明:f(1)+f(2)+…+f(n-1)
23n
2
=n[f(n)-1](n≥2,n∈N).
【解析】(1)当n=2时,左边=f(1)=1,
*
?1?右边=2?1+-1?=1,左边=右边,等式成立. ?2?
(2)假设n=k(k≥2,k∈N)时,结论成立,即
*
f(1)+f(2)+…+f(k-1)=k[f(k)-1],
那么,当n=k+1时,
f(1)+f(2)+…+f(k-1)+f(k)=k[f(k)-1]+f(k)
=(k+1)f(k)-k=(k+1)?f(k+1)-
??
1?-k k+1??
=(k+1)f(k+1)-(k+1)=(k+1)[f(k+1)-1], ∴当n=k+1时结论仍然成立.
由(1)(2)可知f(1)+f(2)+…+f(n-1)=n[f(n)-1](n≥2,n∈N).
【点评】用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命题,关键在于弄清等式两边的构成规律;等式的两边各有多少项,由n=k到n=k+1时,等式的两边会增加多少项,增加怎样的项;难点在于寻求等式中n=k和n=k+1时之间的联系.
*
考点2 用数学归纳法证明不等式
111n*
例2已知Sn=1+++…+(n>1,n∈N),用数学归纳法证明:S2n>1+(n≥2,n∈N*).
23n2111252
【解析】(1)当n=2时,S2n=S4=1+++=>1+,即n=2时命题成立;
234122111k*
(2)假设当n=k(k≥2,k∈N)时命题成立,即S2k=1+++…+k>1+,
2322则当n=k+1时,
S2k+1=1+++…+k+
1
2131211+…+k+1 2+12
kk111
>1++k+k+…+k+1
22+12+22
2>1++kk
22+2
kkk1k+1=1++=1+,
222
故当n=k+1时,命题成立.
由(1)和(2)可知,对n≥2,n∈N,不等式S2n>1+都成立.
2
*
n 3
【点评】用数学归纳法证明不等式应注意的两个问题:
(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时,应用其他办法不容易证,则可考虑应用数学归纳法.
(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k成立,推证n=k+1时也成立,证明时用上归纳假设后,可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明.
考点3 用数学归纳法证明整除性问题
例3设n∈N*,f(n)=3n+7n-2. (1)求f(1),f(2),f(3)的值;
(2)证明:对任意正整数n,f(n)是8的倍数.
【解析】(1)代入求出f(1)=8,f(2)=56,f(3)=368. (2)①当n=1时,f(1)=8是8的倍数,命题成立.
②假设当n=k(k≥1,k∈N*
)时命题成立,即f(k)=3k+7k-2是8的倍数, 那么当n=k+1时,f(k+1)=3
k+1
+7
k+1
-2=3(3k+7k-2)+4(7k+1),
因为7k+1是偶数,所以4(7k+1)是8的倍数, 又由归纳假设知3(3k+7k-2)是8的倍数, 所以f(k+1)是8的倍数, 所以当n=k+1时,命题也成立. 根据①②知命题对任意n∈N*
成立.
考点4 归纳—猜想—证明
例4已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,Sn=n2an(n∈N+). (1)试求出S1,S2,S3,S4,并猜想Sn的表达式; (2)证明你的猜想,并求出an的表达式. 【解析】(1)∵an=Sn-Sn-1(n≥2), ∴S2
n=n(Sn-Sn-1), ∴Sn2
n=
n2-1
Sn-1(n≥2).
∵a,∴S43682n1=11=a1=1,S2=3,S3=2=4,S4=5,猜想Sn=n+1.
(2)证明:①当n=1时,S2×1
1=1,1+1=1等式成立.
②假设当n=k(k≥1,k∈N2k+)时,等式成立,即Sk=
k+1
. 4