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习题1
（1）试针对样本空间中样本点的不同类型，列举出几个日常生活中的随机现象。
解：
①从一批含有正品和次品的产品中任意抽取一个产品，其样本空间为：Ω1={正品，次品}；
②一天内访问某网站的独立IP数，其样本空间为Ω2={0，1，2，?}； ③一台电视机从开始使用到第一次发生故障的时间，其样本空间为Ω3={t|t≥0}
④一种新产品在未来市场的占有率，其样本空间为Ω4={y|0≤y≤1}. （2）设有甲、乙两种产品，现分别从这两种产品中取出一件，若以A记从甲产品中取出次品，以B记从以产品中取出次品，试表示如下事件：
①两件产品都是次品； ②至少有一件产品是次品； ③恰好有一件产品是次品。 解：
①两件产品都是次品：AB； ②至少有一件产品是次品：A∪B； ③恰好有一件产品是次品：AB∪AB.
（3）设有n个球，每个球都等可能地被放到N个不同的盒子中的任一个，每个盒子所放球数不限。试求：
①指定的n（n≤N）个盒子中各有一球的概率p1； ②恰好有n（n≤N）个盒子中各有一球的概率p2；
解：将n个球放入N个盒子中，每个球都有N个盒子可供选择，因此共有Nn种放法，并且他们是等可能的。这是一个古典概型。
①由于分别放有一球的n个盒子已经被选定，那么将n个球分别放入这n个盒子中共有n!种放法，因此在指定的n个盒子中各有一球的概率为
n!P1?n
N②由于分别放有一球的n个盒子可以是这N个盒子中的任意n个，因此求解这个问题可以分为两步：首先，从N个盒子中选定n个，共有错误！未找到引用源。种选法，然后在这n个盒子中分别放入一球，根据①可知有n!种放法，故恰好有n个盒子中各有一球的概率为
Cnn!N!P2?Nn?n
NN(N-n)!（4）从1，2，?，10这十个数中任取一个，假定各个数都以同样的概率被取中，取后还原，先后取7个数，试求：
①7个数全不相同的概率； ②7个数中不含9和2的概率； ③8恰好出现三次的概率； ④5至少出现两次的概率； ⑤取到的最大数为6的概率。
解:根据题意，该随机取数问题的样本空间为10个相异元素允许重复的七元排列，样本点总数为107。
①以A1记事件“所取的7个数全不相同”，考虑到各个数取出时有先后顺序之分，所以有利场合相当于从10个相异元素里每次取出7个相异元素的排列。因
7此，该事件所包含的样本点数为A10。于是
7A10P(A1)?7?0.06048
10②以A2记事件“所取的7 个数中不含9 和2”，这7 个数只能从1,3,4,5,6,7,8,10这8个数
中取得。注意到试验属于有返回取样，则A2的有利场合相当于8个相异元素允许重复的七元排列。于是A2所包含的样本点数为87，有
87P(A2)?7?0.2097
10③以A3记事件“8出现三次”，这三次可以是7次取数中的任意三次，有C37种取法；其余的4次，每次可以取剩下的9个数中的任一个，共有94种取法。于是，
4A3的有利场合数为C379。由此
4C379P(A3)??0.0230 107④以A4记事件“5至少出现两次”，则A4为六个两两互不相容事件“5 恰好出现k次”(k=2,3,4,5,6,7)的和，因此
k7-kC79P(A4)???0.1497 710k?27也可以先考虑A4的逆事件。这里，A4是事件“5恰好出现一次或一次也不出现”。显然
67C179?9P(A4)??0.8503 710∴P(A4)?1-P(A4)?0.1497
⑤以A5记事件“取到的最大数为6”，A5的有利场合是6个相异元素
(1,2,3,4,5,6)允许重复的、最大数恰好为6的7元排列。根据6出现的次数k，A5
k7?k的有利场合数为?C75。于是
k?17P(A5)??Ck?17k757?k710?0.0202
（5）某码头只能容纳一只船，现预知某日将独立来到两只船，且在24小时内各时刻来到的可能性都相等，如果他们需要停靠的时间分别为3小时和4小时，试求有一只船要在江中等候的概率。
解：如题意，两只船均会在24小时内到达，且在任意时刻到达的可能性都相等，因此这是一个几何概型问题。
设甲船停靠3小时，乙船停靠4小时。分别以甲乙二船到达的时刻为x轴和y轴，建立如图所示平面直角坐标系。因此，（x，y）的所有可能结果为图中所示边长为24的正方形，由此得到样本空间Ω的测度为SΩ=242=576。
如果两人能够会面，需要满足条件：
?y?x?3，x?y ??x?y?4，x?yy 24 3 O 4 24 x 即图中的阴影部分，其面积为Sg=242-212/2-202/2=155.5，故两人能会面的概率为
P(Ag)?SgS??155.5?0.27错误！未找到引用源。 576（6）口袋中装有10个球，其中3个黑球，7个白球，先后两次从袋中各取一球（不放回）
①已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的仍是黑球的概率； ②已知第二次取出的是黑球，求第一次取出的也是黑球的概率。 解：根据题意，以A记事件“第一次取出黑球”，以B记事件“第二次取出黑球”。
①若第一次取出黑球，由于是不放回取球，则第二次取出的仍是黑球的概率为
P(B|A)?3-12? 10-19②若第二次取出黑球，由已知条件可知
37，P(A)? 101023P(B|A)?，P(B|A)?
99P(A)?根据贝叶斯公式，第一次取出的也是黑球的概率为
P(A|B)?P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)?3/10?2/92?
3/10?2/9?7/10?3/99（7）设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时被打破的概率为1/2，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为7/10，若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为9/10。试求透镜落下三次而未打破的概率。
解：根据题意，以Ai记事件“透镜在第i次下落时未被打破”（i=1,2,3），故有
P(A1)=1/2，P(A2|A1)=3/10，P(A3|A1A2)=1/10
根据乘法公式的推广公式，透镜落下三次而未打破的概率为
P(A1A2A3)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)?131???0.015 21010（8）三人独立地去破译一份密码，已知他们能破译该密码的概率分别为1/5、1/3、1/4，试求该密码被破译的概率。
解：根据题意，以A记“第一人破译密码”，以B记“第二人破译密码”，以C记“第三人破译密码”，由于事件A、B、C是相互独立的，故密码被破译为事件A∪B∪C，有
P(A∪B∪C)=P(A)＋P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) =1/5+1/3+1/4-1/5×1/3-1/5×1/4-1/3×1/4＋1/5×1/3×1/4=0.6 （9）两台车床加工同样的零件，第一台出现不合格品的概率是0.03，第二台出现不合格品的概率是0.06，加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍。
①求任取一个零件是合格品的概率；
②如果取出的零件是不合格品，求它是由第二台车床加工的概率。 解：根据题意，以A1记“取出的零件来自第一台车床”，A2记“取出的零件来自第二台车床”，以B记“取出合格品”，显然A1，A2构成这一随机取样试验样本空间Ω的完备事件组。
①从这批零件中任取一件，由已知条件可知
P(A1)=2/3，P(A2)=1/3
P(B|A1)=1-0.03=0.97，P(B|A2)=1-0.06=0.94
根据全概率公式，取出合格品的概率为