发布时间 : 星期一 文章高考达标检测(二十五) 数列求和的3种方法—分组转化、裂项相消和错位相减更新完毕开始阅读4cad11b9d5d8d15abe23482fb4daa58da0111cb8
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高考达标检测（二十五） 数列求和的3种方法
—分组转化、裂项相消和错位相减
一、选择题
1．(2017·扬州调研)已知数列{an}的前n项和为Sn，并满足：an＋2＝2an＋1－an，a5＝4－a3，则S7＝( )
A．7 C．14
B．12 D．21
解析：选C 由an＋2＝2an＋1－an知数列{an}为等差数列，由a5＝4－a3 7?a1＋a7?得a5＋a3＝4＝a1＋a7，所以S7＝＝14.
2
2．(2017·安徽江南十校联考)在数列{an}中，an＋1－an＝2，Sn为{an}的前n项和．若S10
＝50，则数列{an＋an＋1}的前10项和为( )
A．100 C．120
B．110 D．130
解析：选C {an＋an＋1}的前10项和为a1＋a2＋a2＋a3＋…＋a10＋a11＝2(a1＋a2＋…＋a10)＋a11－a1＝2S10＋10×2＝120.故选C.
3．(2017·安溪质检)数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n1·n，
－
则S17＝( )
A．9 C．17
B．8 D．16
解析：选A S17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9.
?1?
4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列?aa?的前100项和
?nn＋1?
为( )
100A. 10199C. 100
99 B. 101101 D. 100
解析：选A 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d. ∵a5＝5，S5＝15，
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?a＋4d＝5，∴?5×?5－1?
?5a＋2d＝15，
11
??a1＝1，∴? ?d＝1，?
∴an＝a1＋(n－1)d＝n. 1111
∴＝＝n－， anan＋1n?n＋1?n＋1
??1??111111100
1－?＋?－?＋…＋?－?＝1－＝. ∴数列?aa?的前100项和为??2??23??100101?101101??nn＋1??
5．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项公式为2n，则数列{an}的前2 016项和S2 016＝( )
A．22 017－2 C．22 017
B．22 017－1 D．22 017＋1
解析：选A 由题意知an＋1－an＝2n，则an－an－1＝2n－1，an－1－an－2＝2n－2，…，a3
－a2＝22，a2－a1＝2，累加求和得an－a1＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＝
2?1－2n－1?1－2
＝2n－2，
2 016
2?1－2?2 017
n
n≥2，又a1＝2，所以an＝2，则数列{an}的前2 016项和S2 016＝＝2－2，故
1－2
选A.
π
6．已知数列{an}满足an＋2－an＋1＝an＋1－an，n∈N*，且a5＝，若函数f(x)＝sin 2x＋
2x
2cos2，记yn＝f(an)，则数列{yn}的前9项和为( )
2
A．0 C．9
B．－9 D．1
π?解析：选C 由已知可得，数列{an}为等差数列，f(x)＝sin 2x＋cos x＋1，∴f??2?＝1.∵f(π－x)＝sin(2π－2x)＋cos(π－x)＋1＝－sin 2x－cos x＋1，∴f(π－x)＋f(x)＝2，∵a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5＝π，∴f(a1)＋…＋f(a9)＝2×4＋1＝9，即数列{yn}的前9项和为9.
二、填空题
7．(2016·陕西一检)已知数列{an}中，a1＝2，a2n＝an＋1，a2n＋1＝n－an，则{an}的前100项和为________．
解析：由a1＝2，a2n＝an＋1，a2n＋1＝n－an，得a2n＋a2n＋1＝n＋1，∴a1＋(a2＋a3)＋(a4
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＋a5)＋…＋(a98＋a99)＝2＋2＋3＋…＋50＝1 276，∵a100＝1＋a50＝1＋(1＋a25)＝2＋(12－a12)＝14－(1＋a6)＝13－(1＋a3)＝12－(1－a1)＝13，∴a1＋a2＋…＋a100＝1 276＋13＝1 289.
答案：1 289
8．1＋2x＋3x2＋…＋nxn1＝________(x≠0且x≠1)．
－
解析：设Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1，① 则xSn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，②
①－②得：(1－x)Sn＝1＋x＋x2＋…＋xn－1－nxn 1－xn
＝－nxn， 1－x
1－xn
nxn
∴Sn＝
－. ?1－x?1－x
2
1－xnnxn
答案：－ ?1－x?21－x
9．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(－1)n(an＋1)，记Sn为{an}的前n项和，则S2 017＝________.
解析：由a1＝1，an＋1＝(－1)n(an＋1)可得，
a2＝－2，a3＝－1，a4＝0，a5＝1，a6＝－2，a7＝－1，…， 故该数列为周期是4的数列， 所以S2 017＝504(a1＋a2＋a3＋a4)＋a1 ＝504×(－2)＋1＝－1 007. 答案：－1 007 三、解答题
10．(2017·西安八校联考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5＝－3，S10＝－40. (1)求数列{an}的通项公式；
(2)若从数列{an}中依次取出第2,4,8，…，2n，…项，按原来的顺序排成一个新数列{bn}，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)∵a5＝a1＋4d＝－3， S10＝10a1＋45d＝－40， 解得a1＝5，d＝－2.