发布时间 : 星期六 文章湖南省长沙市2019届高三下学期第二次模拟考试数学（理）试题含解析更新完毕开始阅读4cec4b78f80f76c66137ee06eff9aef8941e4894
【答案】【解析】 【分析】 把长方形方程组求得
展开到长方形的值.
所在平面，利用三点共线时取得最小值，利用勾股定理列方程组，解
【详解】把长方形小值，此时
展开到长方形，令
，
所在平面，如图，当，，，
，则
在同一条直线上时，
，得
.
取得最
【点睛】本小题主要考查空间中的最短距离问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查空间想象能力，属于中档题.
三、解答题 ：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考试根据要求作答. 17.在（1）求（2）若
中，内角，，的对边分别为，，，且；
，
的面积为
，求
的周长.
.
【答案】（1）【解析】 【分析】
；（2）
（1）根据余弦定理直接求解可得（2）由正弦定理角化边可得【详解】（1）因为所以（2）因为因为解得
的面积为.
，从而，所以，所以
，进而可得；
，再利用面积公式求解即可.
，所以
.
，即，即
.
，所以
， ，
【点睛】本题主要考查了正余弦定理及面积公式求解三角形，属于基础题.
18.如图，四棱锥为
的中点，为
的底面是直角梯形，的中点.
，
，
和
是两个边长为2的正三角形，
，
（1）证明：（2）在线段说明理由.
平面.
与平面
所成角的正弦值为
？若存在，求出点的位置；若不存在，
上是否存在一点，使直线
【答案】（1）见解析；（2）当【解析】 【分析】 （1）设为由面
的中点，连接
，
，
时，直线与平面所成角的正弦值为.
，证明OE为三角形BPF的中位线，得
轴，以
，得
即可证明（2）证明平面，
，过分别作的平行线，分别以它们作为上存在一点，设
为轴建立如图所示的空间直角坐标系，求平
，由直线
与平面
的法向量，假设线段
所成角的正弦值为列的方程求解即可
【详解】（1）证明：设为∵∴四边形∵为∴为∴∵∴
，
，为正方形.
，
中点，连接，
，，则.
的中点，∴为的交点，
的中点，即OE为三角形BPF的中位线 . 平面平面
，.
，为
.∵
，
中，
，∴
平面平面
，
（2）∵∴∴在又∵又因为以
的中点，
，所以过分别作
的，∴
，
.
，∴
.
. ，
的平行线，分别以它们作为
轴，
，与平面
.
所成角的正弦值为
， .
.
，则
. ，
，即
.
，
为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则假设线段设即设平面取设直线
，，
上存在一点，使直线
，则
的一个法向量为，得平面与平面
的一个法向量为所成角为，令
得
化简并整理得所以，当
时，直线
，解得与平面
（舍去），或.
.
所成角的正弦值为
【点睛】本题考查线面平行的判定，空间向量求线面角，空间想象力和推理能力，准确计算是关键 ，是中档题
19.唐三彩是中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画、雕塑等工艺美术的特点，在中国文化中占有重要的历史地位，在陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔.唐三彩的生产至今已有1300多年的历史，制作工艺十分复杂，而且优质品检验异常严格，检验方案是：先从烧制的这批唐三彩中任取 3件作检验，这3件唐三彩中优质品的件数记为.如果
，再从这批唐三彩中任取3件作检验，若都为优质品，则这批唐三彩通过检验；如果
，再从这批唐三
彩中任取1件作检验，若为优质品，则这批唐三彩通过检验；其他情况下，这批唐三彩都不能通过检验.假设这批唐三彩的优质品概率为，即取出的每件唐三彩是优质品的概率都为，且各件唐三彩是否为优质品相互独立. （1）求这批唐三彩通过优质品检验的概率；
（2）已知每件唐三彩的检验费用为100元，且抽取的每件唐三彩都需要检验，对这批唐三彩作质量检验所需的总费用记为元，求的分布列及数学期望. 【答案】（1）【解析】 【分析】
（1）分两种情况研究唐三彩通过检验的概率相加即可求解（2）先列出可能的取值，再分别求概率列出分布列求解即可
【详解】（1）设第一次取出的3件唐三彩中恰有2件优质品为事件，第一次取出的3件唐三彩全是优质品为事件，第二次取出的3件唐三彩都是优质品为事件为事件， 依题意有所以
，
.
，第二次取出的1件唐三彩是优质品为事件
，这批唐三彩通过检验
.（2）见解析.
（2）可能的取值为300，400，600，
，
，
所以的分布列为 300 400
.
600