发布时间 : 星期六 文章湖南省长沙市2019届高三下学期第二次模拟考试数学（理）试题含解析更新完毕开始阅读4cec4b78f80f76c66137ee06eff9aef8941e4894
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【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列，概率加法公式，理解题意准确计算是关键，是基础题
20.设是圆且满足
上的任意一点，是过点且与轴垂直的直线，是直线与轴的交点，点在直线上，.当点在圆上运动时，记点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程； （2）已知点
，过
的直线交曲线于
两点，交直线
于点.判定直线
的斜率是否依次构成
等差数列？并说明理由. 【答案】（1）【解析】 【分析】 （1）设点
，
，由条件线段比例可得
，与椭圆联立得得
即可.
【详解】（1）设点所以
，
，.①
，
，代入圆的方程中即可得解；
，设
，
，由
；（2）见解析
（2）设直线的方程为
，因为
因为点在圆：上运动，所以
将①式代入②式，得曲线的方程为
（2）由题意可知的斜率存在，设直线的方程为令由
，得
坐标为，得
.
设，，则有
的，点在直线上， .②
.
， .
，
.③
，结合韦达定理代入求解
记直线从而因为直线所以
，，，
的斜率分别为，，，
，
，所以 .④
.
，
，
方程为
把③代入④，得
又故直线
，所以，
，
【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，斜率的坐标表示，设而不求的数学思想，考查了计算能力，属于中档题. 21.设函数（1）证明：（2）若（3）证明：当
的.
，
的斜率成等差数列.
，
.
.
恒成立，求的取值范围； 时，
；（3）见解析.
.
，求导求其最小值，裂项相消求和得
，
，
，
，
.
【答案】（1）见解析；（2）【解析】 【分析】 （1）令函数
，证明其最小值大于等于0即可（2）原题转化为
即可；（3）由（1）
即可
恒成立，令，令
，得
【详解】（1）证明：令函数
所以故
为单调递增函数，
（2）令
，即为
，即
， 恒成立， ，
令当
，即，即
，
时，
，得在
.
上单调递增，
所以当当所以所以
时，，即
时，
在
在
上恒成立；
上单调递增，在
，
上单调递减，
不恒成立.
.
，
，
，
综上所述：的取值范围为（3）证明：由（1）知令
，
，，即
故有
，
…
，
上述各式相加可得因为
，
所以
，
.
，
，
.
【点睛】本题考查导数与函数的最值，利用导数求解恒成立问题，利用导数证明不等式，分类讨论思想，分析求解能力，第三问关键是利用（1）令
22.在直角坐标系
中，曲线的参数方程为
（为参数），其中
.
,裂项求和，是中档题
，.以坐标原点为极
点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程
（1）求曲线和曲线的直角坐标方程； （2）已知曲线与曲线交于【答案】（1）曲线的普通方程曲线的直角坐标方程（2）【解析】 【分析】
（1）根据参数方程与普通方程的互化，可得曲线的普通方程；根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可得曲线的直角坐标方程.
（2）将直线的参数方程代入曲线，利用韦达定理和参数的几何意义，即可求解，得到答案. 【详解】（1）曲线的普通方程曲线的直角坐标方程（2）将化简得设
代入，因为
，所以
.
， . ，
，
，其中
，
；
.
两点，点
，求，其中
的取值范围. ，
；
两点对应的参数分别为，，则有
，
所以的取值范围是.
【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线参数方程的应用，其中解答中熟记参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及合理利用直线参数方程参数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力属于基础题.
23.已知函数（1）解不等式（2）若【答案】(1) 【解析】 【分析】
，
，或.
； .证明：
(2)见解析
.