发布时间 : 星期三 文章2018-2019学年山东省聊城市开发区八年级(下)期中数学试卷更新完毕开始阅读4d098256b5360b4c2e3f5727a5e9856a57122614
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据数量关系列出不等式是本题的关键． 24．（10分）如图，?ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于M、N． （1）求证：四边形CMAN是平行四边形． （2）已知DE＝4，FN＝3，求BN的长．
【考点】L7：平行四边形的判定与性质．
【分析】（1）只要证明CM∥AN，AM∥CN即可．
（2）先证明△DEM≌△BFN得BN＝DM，再在Rt△DEM中，利用勾股定理即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB，
∵AM⊥BD，CN⊥BD， ∴AM∥CN，
∴CM∥AN，AM∥CN， ∴四边形AMCN是平行四边形． （2）∵四边形AMCN是平行四边形， ∴CM＝AN，
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB，CD∥AB， ∴DM＝BN，∠MDE＝∠NBF， 在△MDE和△NBF中，
，
∴△MDE≌△NBF， ∴ME＝NF＝3，
在Rt△DME中，∵∠DEM＝90°，DE＝4，ME＝3，
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∴DM＝∴BN＝DM＝5．
＝＝5，
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是记住平行四边形的判定方法和性质，正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
25．（12分）如图1，在正方形ABCD中，点E在AD的延长线上，P是对角线BD上的一点，且点P位于AE的垂直平分线上，PE交CD于点F． （1）猜测PC和PE有什么大小及位置关系，并给出证明．
（2）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系．并说明理由．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KG：线段垂直平分线的性质；KM：等边三角形的判定与性质；L8：菱形的性质；LE：正方形的性质．
【分析】（1）这里利用正方形的轴对称性质和线段垂直平分线的性质证明PC＝PC，再利用三角形的内角和的关系证明∠CPF＝∠FDE，再结合正方形的每个内角是90°， 证明∠CPF＝90°即可．
（2）由菱形轴对称性质，利用题（1）的方法证明∠CPF＝60°，又因为PC＝PE，所以△PCE是等边三角形，因此CE＝PC＝AP． 【解答】解：（1）PC＝PE，PC⊥PE
证明：∵正方形ABCD，点P是对角线上一点 ∴PA＝PC
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∵点P位于AE的垂直平分线上 ∴PA＝PE ∴PC＝PE
由正方形的轴对称性质可得，∠PAD＝∠PCD， ∵PA＝PE ∴∠PAD＝∠E ∴∠PCD＝∠E ∵∠PFC＝∠DFE ∴∠CPF＝∠FDE ∵正方形ABCD ∴∠ADC＝90° ∴∠FDE＝90° ∴∠CPF＝90° ∴PC⊥PE
（2）PA＝CE．理由如下： ∵菱形ABCD，点P是对角线BD上一点 ∴AP＝PF，∠PAD＝∠PCD ∵点P在AE的垂直平分线上 ∴AP＝PE
∴PE＝PC，∠PAD＝∠PED ∵∠PFC＝∠DFE ∴∠CPF＝∠EDF
∵菱形ABCD，∠ABC＝120° ∴∠ADC＝∠ABC＝120° ∴∠EDF＝180°﹣∠ADC＝60° ∴∠CPF＝60° ∵PE＝PC
∴△PCE是等边三角形 ∴CE＝PE ∴AP＝CE
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【点评】本题主要考查了线段垂直平分线、等边三角形、正方形和菱形的性质．注意正方形和菱形是轴对称图形．
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