发布时间 : 星期三 文章2020版高考数学二轮复习过关检测十六：立体几何[含解析]更新完毕开始阅读4d5f62f6ec630b1c59eef8c75fbfc77da36997c1
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专题过关检测（十六） 立体几何
1．(2019·石家庄模拟)如图，已知三棱锥P-ABC中，PC⊥AB，△ABC是边长为2的正三角形，PB＝4，∠PBC＝60°.
(1)证明：平面PAC⊥平面ABC；
(2)设F为棱PA的中点，在AB上取点E，使得AE＝2EB，求三棱锥F-ACE与四棱锥C-PBEF的体积之比．
解：(1)证明：在△PBC中，∠PBC＝60°，BC＝2，PB＝4， 由余弦定理可得PC＝23， ∴PC＋BC＝PB，∴PC⊥BC，
又PC⊥AB，AB∩BC＝B，∴PC⊥平面ABC， ∵PC?平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC.
(2)设三棱锥F-ACE的高为h1，三棱锥P-ABC的高为h，
1121111
则VF-ACE＝×S△ACE×h1＝×S△ABC××h×＝×S△ABC×h×＝×VP-ABC.
3332333∴三棱锥F-ACE与四棱锥C-PBEF的体积之比为1∶2.
2．(2020届高三·福建五校第二次联考)如图，在五面体ABCDFE中，底面ABCD为矩形，EF∥AB，BC⊥FD，过BC的平面交棱FD于P，交棱FA于Q.
(1)证明：PQ∥平面ABCD；
2
(2)若CD⊥BE，EF＝EC＝1，CD＝2EF＝BC，求五面体ABCDFE的体积．
3
解：(1)证明：因为底面ABCD为矩形，所以AD∥BC.又AD?平面ADF，BC?平面ADF，所以BC∥平面ADF.
又BC?平面 BCPQ，平面BCPQ∩平面ADF＝PQ，所以BC∥PQ. 又PQ?平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PQ∥平面ABCD. (2)由CD⊥BE，CD⊥CB，易证CD⊥CE. 由BC⊥CD，BC⊥FD，易证BC⊥平面CDFE， 所以CB⊥CE，即CD，CE，CB两两垂直．
2
如图，连接FB，FC，因为EF＝EC＝1，CD＝2EF＝BC，所以CD＝2，BC＝3，V31
＝×(2×3)×1＝2， 3
四棱锥F-ABCD2
2
2
??V三棱锥F-BCE＝×?×3×1?×1＝，
?
113?2
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所以VABCDFE＝V四棱锥F-ABCD＋V三棱锥F-BCE＝2＋＝.
22
3．如图①，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E是CD的中点，将△ADE沿AE折起，得到如图②所示的四棱锥D1-ABCE，其中平面D1AE⊥平面ABCE.
(1)证明：BE⊥平面D1AE；
(2)设F为CD1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使得MF∥平面D1AE，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)证明：∵四边形ABCD为矩形且AD＝DE＝EC＝BC＝2，∴∠AEB＝90°，即BE⊥
AMABAE，又平面D1AE⊥平面ABCE，平面D1AE∩平面ABCE＝AE，
∴BE⊥平面D1AE.
AM1
(2)＝，理由如下： AB4
取D1E的中点L，连接FL，AL，∴FL∥EC. 1
又EC∥AB，∴FL∥AB，且FL＝AB，
4∴M，F，L，A四点共面， 若MF∥平面AD1E，则MF∥AL. ∴四边形AMFL为平行四边形， 1AM1
∴AM＝FL＝AB，即＝.
4AB4
4．(2019·蓉城名校第一次联考)如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥
BC，AB⊥BC，AD＝AB＝2BC＝2，AP＝AC，BP＝3BC.
(1)求证：平面PAD⊥平面ABCD；
(2)若∠PAD为锐角，且PA与平面ABCD所成角的正切值为2，求点C到平面PAB的距离．
解：(1)证明：在直角梯形ABCD中，∵BC＝1，AB＝2，AB⊥BC， ∴AC＝5，即AP＝AC＝5，BP＝3BC＝3， ∴BA＋AP＝BP，∴BA⊥AP，
又AD∥BC，∴BA⊥AD，又AP∩AD＝A，∴BA⊥平面PAD， ∵BA?平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD. (2)如图，过点P作PO⊥AD交AD于点O，连接OC，
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2
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由(1)可知PO⊥平面ABCD，
则∠PAO为PA与平面ABCD所成的角，∴tan∠PAO＝2.
又AP＝5，∴AO＝1，PO＝2.∴AO綊BC，∴四边形ABCO为矩形，∴OC⊥AD. 设点C到平面PAB的距离为d， 由V三棱锥C-PAB＝V三棱锥P-ABC， 11
可得·S△PAB·d＝·S△ABC·PO，
331
×2×12S△ABC25
∴d＝PO·＝2×＝.
S△PAB15
×2×5225
故点C到平面PAB的距离为.
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5.如图，在几何体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，EF∥CD，CD⊥EA，
CD＝2EF＝2，ED＝3，M为棱FC上一点，平面ADM与棱FB交于点N.
(1)求证：ED⊥CD； (2)求证：AD∥MN；
(3)若AD⊥ED，试问平面BCF是否可能与平面ADMN垂直？若能，求出的值；若不能，说明理由．
解：(1)证明：因为四边形ABCD为矩形，所以CD⊥AD. 又因为CD⊥EA，EA∩AD＝A， 所以CD⊥平面EAD. 因为ED?平面EAD， 所以ED⊥CD.
(2)证明：因为四边形ABCD为矩形，所以AD∥BC， 又因为AD?平面FBC，BC?平面FBC， 所以AD∥平面FBC.
又因为平面ADMN∩平面FBC＝MN， 所以AD∥MN.
(3)平面ADMN与平面BCF可以垂直．证明如下： 连接DF.因为AD⊥ED，AD⊥CD，ED∩CD＝D， 所以AD⊥平面CDEF.所以AD⊥DM. 因为AD∥MN，所以DM⊥MN. 因为平面ADMN∩平面FBC＝MN，
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所以若使平面ADMN⊥平面BCF， 则DM⊥平面BCF，所以DM⊥FC.
在梯形CDEF中，因为EF∥CD，DE⊥CD，CD＝2EF＝2，ED＝3，所以DF＝DC＝2. 所以若使DM⊥FC成立，则M为FC的中点．
FM1所以＝.
FC2
6．(2019·福州质检)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是边长为2的正三角形，M，N分别是AB，AA1的中点，且A1M⊥B1N.
(1)求证：B1N⊥A1C； (2)求M到平面A1B1C的距离． 解：(1)证明：如图，连接CM.
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，CM?平面ABC. 所以AA1⊥CM.
在△ABC中，AC＝BC，AM＝BM，所以CM⊥AB. 又AA1∩AB＝A，所以CM⊥平面ABB1A1. 因为B1N?平面ABB1A1，所以CM⊥B1N.
又A1M⊥B1N，A1M∩CM＝M，所以B1N⊥平面A1CM. 因为A1C?平面A1CM，所以B1N⊥A1C. (2)连接B1M.
在矩形ABB1A1中，因为A1M⊥B1N，所以∠AA1M＝∠A1B1N. 所以tan∠AA1M＝tan∠A1B1N，即
AMA1N＝. AA1A1B1
因为△ABC是边长为2的正三角形，M，N分别是AB，AA1的中点，所以AM＝1，CM＝3，
A1B1＝2.
设AA1＝x，则A1N＝.
2
xx12
所以＝，解得x＝2.
x2
1
从而S△A1B1M＝S正方形ABB1A1＝2，A1C＝B1C＝22.
2
A1C2＋B1C2－A1B2371
在△A1CB1中，cos∠A1CB1＝＝，所以sin∠A1CB1＝，
2A1C·B1C44
1
所以S△A1B1C＝A1C·B1C·sin∠A1CB1＝7.
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