发布时间 : 星期五 文章全国通用2017届高考数学一轮总复习第八章立体几何8.5空间向量及其应用空间角专用题组理更新完毕开始阅读4d81c7307dd184254b35eefdc8d376eeaeaa1785
(2)在平面PAB内过点A作AG⊥PB,G为垂足. 因为二面角A-PB-C为90°,所以平面PAB⊥平面PBC. 又平面PAB∩平面PBC=PB,故AG⊥平面PBC,AG⊥BC.
BC与平面PAB内两条相交直线PA,AG都垂直,故BC⊥平面PAB,于是BC⊥AB,所以底面ABCD为正方形,AD=2,PD==2.(8分) 设D到平面PBC的距离为d.
因为AD∥BC,且AD?平面PBC,BC?平面PBC,故AD∥平面PBC,A、D两点到平面PBC的距离相等,即d=AG=.
设PD与平面PBC所成的角为α,则sin α==. 所以PD与平面PBC所成的角为30°.(12分) 解法二:
(1)以A为坐标原点,AC所在直线为x轴,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.
设C(2,0,0),D(,b,0),其中b>0,则P(0,0,2),E,B(,-b,0).(2分) 于是=(2,0,-2),=,=,从而·=0,·=0,故PC⊥BE,PC⊥DE. 又BE∩DE=E,所以PC⊥平面BDE.(6分) (2)=(0,0,2),=(,-b,0).
设m=(x,y,z)为平面PAB的法向量,则m·=0,m·=0,即2z=0且x-by=0, 令x=b,则m=(b,,0).
设n=(p,q,r)为平面PBC的法向量,则n·=0,n·=0,即2p-2r=0且+bq+r=0, 令p=1,则r=,q=-,n=. 因
为
面
PAB⊥
面
PBC,
故
m·n=0,
即
b-=0,
故
b=,
于
是
n=(1,-1,),=(-,-,2),cos
因为PD与平面PBC所成角和
18.(2012江西,19,12分)在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=AC=AA1=,BC=4,点A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O.
(1)证明在侧棱AA1上存在一点E,使得OE⊥平面BB1C1C,并求出AE的长; (2)求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值.
5
解析 (1)证明:连结AO,在△AOA1中,作OE⊥AA1于点E,因为AA1∥BB1,得OE⊥BB1, 因为A1O⊥平面ABC,所以A1O⊥BC.
因为AB=AC,OB=OC,得AO⊥BC,所以BC⊥平面AA1O,所以BC⊥OE,所以OE⊥平面BB1C1C, 又AO==1,AA1=,得AE==.
(2)如图,分别以OA,OB,OA1所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,-2,0),A1(0,0,2).
由=得点E的坐标是,
由(1)得平面BB1C1C的一个法向量是=, 设平面A1B1C的法向量n=(x,y,z), 由 得
令y=1,得x=2,z=-1, 即n=(2,1,-1), 所以cos<,n>==,
即平面BB1C1C与平面A1B1C的夹角的余弦值是.
评析 本题主要考查的知识点:线面垂直的判定和性质以及距离和二面角的计算;考查了推理论证能力、空间想象能力;利用的方法有:法向量法.
19.(2015湖北,19,12分)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.
如图,在阳马P-ABCD中,侧棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,过棱PC的中点E,作EF⊥PB交PB于点F,连结DE,DF,BD,BE.
(1)证明:PB⊥平面DEF.试判断四面体DBEF是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,说明理由;
(2)若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为,求的值.
6
解析 解法一:(1)因为PD⊥底面ABCD,所以PD⊥BC, 由底面ABCD为长方形,有BC⊥CD,而PD∩CD=D, 所以BC⊥平面PCD,而DE?平面PCD,所以BC⊥DE. 又因为PD=CD,点E是PC的中点,所以DE⊥PC. 而PC∩BC=C,所以DE⊥平面PBC. 而PB?平面PBC,所以PB⊥DE.
又PB⊥EF,DE∩EF=E,所以PB⊥平面DEF.
由DE⊥平面PBC,PB⊥平面DEF,可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形, 即四面体BDEF是一个鳖臑,其四个面的直角分别为∠DEB,∠DEF,∠EFB,∠DFB. (2)如图,在面PBC内,延长BC与FE交于点G,则DG是平面DEF与平面ABCD的交线.
由(1)知,PB⊥平面DEF,所以PB⊥DG. 又因为PD⊥底面ABCD,所以PD⊥DG. 而PD∩PB=P,所以DG⊥平面PBD.
故∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角, 设PD=DC=1,BC=λ,有BD=,
在Rt△PDB中,由DF⊥PB,得∠DPF=∠FDB=, 则tan=tan∠DPF===,解得λ=. 所以==.
故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时,=.
解法二:(1)如图,以D为原点,射线DA,DC,DP分别为x,y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系.
7
设PD=DC=1,BC=λ,则D(0,0,0),P(0,0,1),B(λ,1,0), C(0,1,0),=(λ,1,-1),点E是PC的中点, 所以E,=,
于是·=0,即PB⊥DE.
又已知EF⊥PB,而DE∩EF=E,所以PB⊥平面DEF. 因=(0,1,-1),·=0,则DE⊥PC,所以DE⊥平面PBC.
由DE⊥平面PBC,PB⊥平面DEF,可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形, 即四面体BDEF是一个鳖臑,其四个面的直角分别为∠DEB,∠DEF,∠EFB,∠DFB. (2)由PD⊥平面ABCD,所以=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量; 由(1)知,PB⊥平面DEF,所以=(-λ,-1,1)是平面DEF的一个法向量. 若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为, 则cos= ==, 解得λ=, 所以==.
故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时,=.
20.(2014安徽,20,13分)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1A⊥底面ABCD.四边形ABCD为梯形,AD∥BC,且AD=2BC.过A1,C,D三点的平面记为α,BB1与α的交点为Q. (1)证明:Q为BB1的中点;
(2)求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比;
(3)若AA1=4,CD=2,梯形ABCD的面积为6,求平面α与底面ABCD所成二面角的大小.
解析 (1)证明:因为BQ∥AA1,BC∥AD,BC∩BQ=B,AD∩AA1=A, 所以平面QBC∥平面A1AD.
从而平面A1CD与这两个平面的交线相互平行,即QC∥A1D. 故△QBC与△A1AD的对应边相互平行,于是△QBC∽△A1AD.
8