发布时间 : 星期六 文章第7讲 多元函数微分学及其应用II更新完毕开始阅读4d9e95d6c1c708a1284a44ff
?nn?1???0,?2x??nn?1???0, ?y?2?x?y?a?0,??解之得x?y?a2。
把y看成x的函数，记F(x)?f(x,y(x))，则由x?y?a得y???1，从而有
2222n(n?1)n?2n(n?1)n?2， F??(x)?x?y22aaaaF?(x)?nxn?1?nyn?1?y??nxn?1?nyn?1，
显然F?()?0,F??()?0，因此，(,)是f(x,y)的唯一的极小值点，极小值为()。
2222又因为f(x,y)在线段x?y?a(x?0,y?0)上连续，因此最小值一定存在，而
an2aaaaf(,)?n??f(a,0)?f(0,a)， 2222aaaa故f(,)最小值，因此有f(x,y)?f(,)，即
2222x?ynnnn22思考题21（华东师大1999）用条件极值证明不等式：
x1?x2???xnn222?(x?y),nn?Z。
??(x1?x2???xnn),(xk?0,k?1,2,?n)
x1??xnn222提示：设x1?x2???xn?a(a?0)，问题转化为求f(x1,x2,?xn)?条件x1?x2???xn?a下的最小值。
5 距离问题
例60（中山大学）求曲面z?xy?1上距原点最近的点的坐标。
在
解 即求f(x,y,z)?x?y?z在条件z?xy?1下的最小值点。作Lagrange函数
L?x?y?z??(xy?z?1)，令其所有偏导数等于零得
222222?2x??y?0,??2y??x?0, ??2z???0,?xy?z?1?0,?解之得
x?y?0,
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z??1，
根据实际意义最小值点一定存在，故点(0,0,?1)即为所求。
例61（西北工大，华中科大）在直线x?y??2位于第一象限的那一部分上求一点，使
该点横坐标的余弦与纵坐标的余弦的乘积最大，并求出此最大值。
?解 即求函数f(x,y)?cosxcosy在条件x?y?,x?0,y?0下的最大值。此问题
2可转化为求f(x,y)?cosxcos(x??22?x)?12sin2x在条件0?x??2下的最大值，显然当
?4时，取最大值，最大值为
1。
例62（华中科大2000）求直线4x?3y?16与椭圆18x2?5y2?45之间的最短距离。 解 椭圆上任意一点(x,y)到直线4x?3y?16上的距离为
r?4x?3y?165，
于是，该问题可转化为：求r2?(4x?3y?16)2在条件18x2?5y2?45下的最小值。 构造Lagrange乘法函数L?(4x?3y?16)2??(18x2?5y2?45)，令其所有一阶偏导数等于零得
?8(4x?3y?16)?36?x?0,??6(4x?3y?16)?10?y?0, ?22?18x?5y?45?0,解之得
x?1011,y?2711， 或 x??1011,y??2711，
根据实际意义，所求最小值一定存在，代入计算可得最小值点为(r?4x?3y?165(1027,)11111027,)，故所求的最小值 1111?1。
222例63（中国科学院2002）求两曲面x?2y?1和x?2y?z?1的交线上距原点最近的点。
解 交线上任意一点（x,y,z）到原点的距离的平方为r在交线上，必然满足x?2y?z?1，从而有
r2222?x?y?z，由于点(x,y,z)2222222?(x?2y?z)?y22222?1?y，
22222于是问题转化为求r?1?y在条件x?2y?1和x?2y?z?1下的最小值。
作Lagrange乘法函数L?1?y??1(x?2y?1)??2(x?2y?z?1)，令其所有一阶偏导数等于零得
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??1?2?2x?0,???2y?2?1?4?2y?0,? ?2?2z?0,?x?2y?1?0,?222??x?2y?z?1?0,解之得
x?1,y?z?0，或 x??13,y?23,z?0，
根据实际意义最小值一定存在，代入计算可得最小值为rmin?(?12,,0)，此即为所求与原点最近的点。 3353，相应的最小值点为
思考题22（北京航空航天大学2001）抛物面z?x2?y2被平面x?y?z?1所截成一椭圆，求原点至该椭圆的最近最远距离。
思考题24（清华大学）利用导数证明：周长一定的三角形中以等边三角形的面积最大。 6 Tailor公式及其应用 例64（兰州大学）写出函数f(x,y)?y2在点(1,1)附近的Taylor公式（写至二阶项，余项形式可不具体写出）。
解 f(1,1)?1，
?f?x(1,1)x?y2x?lny?2?ln22?1(1,1)xx(1,1)?0，
?f?y2?2?y(1,1)xx?2，
?f?x22(1,1)?2ln?f222?y2xlny(2lny?1)x(1,1)?0，
?f?x?y?f?y2(1,1)2(1,1)??y?xxx?2y(1,1)2?2xx2?1xln2(2lny?1)x(1,1)?2ln2，
?2(2?1)y?2，
(1,1)所以
f(x,y)?1?2(y?1)?12[2ln2(x?1)(y?1)?2(y?1)]?o(?)
2222 ?1?2(y?1)?ln2?(x?1)(y?1)?(y?1)?o(?)， 其中??公式。
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(x?1)?(y?1)。
x22思考题25（北京大学）写出函数u?ecosy在原点(0,0)邻域带Peano余项的四阶Taylor
例65（北京大学）设F(x,y,z)有连续的各阶偏导数，并满足不等式：
?x?y?z其中?为常数。证明：当动点(x,y,z)沿曲线?：x??cost,y?sint,z?t,t?0，趋于无穷远点（即t???）时，F(x,y,z)???。
y?F?x?F??F???0,3?(x,y,z)?R，
证 记f(t)?F(?cost,sint,t)，由假设知f(t)具有任意阶连续导数，于是
f(t)?f(0)?f?(?)t
?F(?1,0,0)?(sint?F?x?F?x?cost?F?y?F?y?F?z??F?z)t???t ?t
?F(?1,0,0)?(y?x?)(?cos?,sin?,?)?F(?1,0,0)??t???(t???)。
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