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§5.1 平面向量的概念及线性运算
1.向量的有关概念 名称 向量 零向量 单位向量 平行向量 共线向量 定义 既有______又有______的量；向量的大小叫做向量的______(或称______) 长度为______的向量；其方向是任意的 长度等于________的向量 方向____或____的非零向量 __________________的非零向量又叫做共线向量 长度______且方向______的向量 长度______且方向____的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 0的相反向量为0 0与任一向量______或共线 备注 平面向量是自由向量 记作______ a非零向量a的单位向量为± |a|相等向量 相反向量 2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 (1)交换律：a＋b＝加法 求两个向量和的运算 ____________.(2)结合律：(a＋b)＋c＝____________.
求a与b的相反向减法 量－b的和的运算叫做a与b的差 ________法则 (1)|λa|＝________； (2)当λ>0时，λa的方向与数乘 求实数λ与向量a的积的运算 a的方向________；当λ<0时，λa的方向与a的方向________；当λ＝0时，λa＝______ 3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得______. [难点正本 疑点清源] 1.向量的两要素
向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小. 2.向量平行与直线平行的区别
向量平行包括向量共线和重合的情况，而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合.
λ(μa)＝______；(λ＋μ)a＝________； λ(a＋b)＝_______ a－b＝a＋(－b)
→→→→
1.化简OP－QP＋MS－MQ的结果为________.
→→→
2.在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且AB＝a，AD＝b，则BE＝____________. 3.下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量；④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是________. →→→→→
4.已知D为三角形ABC边BC的中点，点P满足PA＋BP＋CP＝0，AP＝λPD，则实数λ的值为________.
→→→
5.已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2OA＋OB＋OC＝0，那么( ) →→
A.AO＝OD →→
C.AO＝3OD
→→B.AO＝2OD →→D.2AO＝OD
题型一 平面向量的概念辨析 例1 给出下列命题：
→→
①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.
其中正确命题的序号是________.
探究提高 (1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键. (2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性. (3)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.
(4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈.
aa
(5)非零向量a与的关系是：是a方向上的单位向量.
|a||a|
判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由.
(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；
(2)若|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反； (3)若|a|＝|b|，且a与b方向相同，则a＝b；
(4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行； (5)若向量a与向量b平行，则向量a与b的方向相同或相反；
→→
(6)若向量AB与向量CD是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上； (7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； (8)任一向量与它的相反向量不相等. 题型二 向量的线性运算
例2 在△ABC中，D、E分别为BC、AC边 上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE， →→→→设AB＝a，AC＝b，试用a，b表示AD，AG.
探究提高 (1)解题的关键在于搞清构成三角形的三个问题间的相互关系，能熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.
(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果.
在△ABC中，E、F分别为AC、AB的
→→
中点，BE与CF相交于G点，设AB＝a，AC＝b， →
试用a，b表示AG. 题型三 平面向量的共线问题
例3 设两个非零向量a与b不共线，
→→→
(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线； (2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线.
探究提高 (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.
(2)向量a、b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，若λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a、b不共线.
如图所示，△ABC中，在AC上取一点N，
11
使得AN＝AC，在AB上取一点M，使得AM＝AB，
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在BN的延长线上取点P，使得NP＝BN，在CM的延长
2→→→→
线上取点Q，使得MQ＝λCM时，AP＝QA，试确定λ的值.
11.用方程思想解决平面向量
的线性运算问题
→1→
试题：(14分)如图所示，在△ABO中，OC＝OA，
4→1→→
OD＝OB，AD与BC相交于点M，设OA＝a，
2→→OB＝b.试用a和b表示向量OM.
审题视角 (1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去.
→→
(2)既然OM能用a、b表示，那我们不妨设出OM＝ma＋nb. (3)利用共线定理建立方程，用方程的思想求解. 规范解答
→
解 设OM＝ma＋nb，