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概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率
1 随机事件及其概率·样本空间·事件的关系及运算
一、任意抛掷一颗骰子，观察出现的点数。设事件A表示“出现偶数点”，事件B表示“出现的点数能被3整除”．
（1）写出试验的样本点及样本空间；
（2）把事件A及B分别表示为样本点的集合；
（3）事件A,B,A?B,AB,A?B分别表示什么事件？并把它们表示为样本点的
集合．
解：设ωi表示“出现i点”(i?1,2,?,6)，则
（1）样本点为ω1,ω2,ω3,ω4,ω5,ω6；样本空间为??{?1,?2,?3,?4,?5,?6}. （2）A?{ω2,ω4,ω6}； B?{ω3,ω6}.
（3）A?{ω1,ω3,ω5}，表示“出现奇数点”；B?{ω1,ω2,ω4,ω5}，表示“出现的点数不能被3整除”；A?B?{ω2,ω3,ω4,ω6}，表示“出现的点数能被2或3整除”；AB?{ω6}，表示“出现的点数能被2整除且能被3整除”；A?B?{ω1,ω5}，表示“出现的点数既不能被2整除也不能被3整除”
二、写出下列随机试验的样本空间及各个事件中的样本点：
（1）同时掷三枚骰子，记录三枚骰子的点数之和．A—“点数之和大于10”，B—“点
数之和小于15”．
（2）一盒中有5只外形相同的电子元件，分别标有号码1，2，3，4，5．从中任取3
只，A—“最小号码为1”．
解：(1) 设ωi表示“点数之和等于i”(i?3,4,?,18)，则
Ω?{ω3,ω4,?,ω18}；
A?{ω11,ω12,?,ω18}；B?{ω3,ω4,?,ω14}.
(2) 设ωijk表示“出现号码为i,j,k”(i,j,k?1,2,?,5;i?j?k)，则
Ω?{ω123,ω124,ω125,ω134,ω135,ω145,ω234,ω235,ω245,ω345} A?{ω123,ω124,ω125,ω134,ω135,ω145}.
三、设A,B,C为三个事件，用事件之间的运算表示下列事件： (1) A发生, B与C都不发生； (2) A,B,C都发生；
(3) A,B,C中至少有两个发生； (4) A,B,C中至多有两个发生． 解：(1) ABC；
(2) ABC；
(3) ABC?ABC?ABC?ABC或AB?BC?CA
(4) ABC?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC或A?B?C或ABC.
四、一个工人生产了n个零件，以Ai表示他生产的第 i个零件是合格品（1?i?n）．用Ai表示下列事件：
（1）没有一个零件是不合格品； （2）至少有一个零件是不合格品； （3）仅有一个零件是不合格品；
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概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率
（4）至少有一个零件不是不合格品． 解：(1) A1A2?An；
(2) A1A2?An或A1?A2???An； (3) A1A2?An?A1A2?An???A1A2?An (4) A1?A2???An或A1A2?An.
2 概率的古典定义·概率加法定理
一、电话号码由七个数字组成，每个数字可以是0，1，2，…，9中的任一个数（但第一个数字不能为0），求电话号码是由完全不同的数字组成的概率．
1111111C10C10C10C10C10C10?9?106 解：基本事件总数为C91111111C9C8C7C6C5C4?92?8?7?6?5?4 有利事件总数为C9设A表示“电话号码是由完全不同的数字组成”，则
92?8?7?6?5?4P(A)??0.0605 69?10二、把十本书任意地放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率．
10?10! 解：基本事件总数为A107?7!种；这三本书按确定的顺序指定的三本书按某确定顺序排在书架上的所有可能为A713?8种；这三本书的排列顺序数为A3?3!；故有利事放在书架上的所以可能的位置共C8件总数为7!?8?3!?8!?3!(亦可理解为P88P33)
设A表示“指定的三本书放在一起”，则
8!?3!1P(A)???0.067
10!15
三、为了减少比赛场次，把二十个队任意分成两组（每组十队）进行比赛，求最强的两个
队被分在不同组内的概率．
10
解：20个队任意分成两组（每组10队）的所以排法，构成基本事件总数C20；两个最强的
19C18 队不被分在一组的所有排法，构成有利事件总数C2 设A表示“最强的两队被分在不同组”，则
19C2C1810P(A)???0.526 1019C20
四、某工厂生产的产品共有100个，其中有5个次品．从这批产品中任取一半来检查，求发现次品不多于1个的概率．
解：设Ai表示“出现的次品为i件”(i?0,1,2,3,4,5)，A表示“取出的产品中次品不多
于 1个”，则 A?A0?A1.因为A0A1?V，所以P(A)?P(A0)?P(A1).而
50149C95C5C955?25?4747?23P(A0)?50??0.0281 P(A1)???0.152 9504?99?97C1004?99?97C10010.152?90.181故 P(A)?0.028?
五、一批产品共有200件, 其中有6件废品．求 (1) 任取3件产品恰有1件是废品的概率; (2) 任取3件产品没有废品的概率; (3) 任取3件产品中废品不少于2件的概率．
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概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率
解：设A表示“取出的3件产品中恰有1件废品”；B表示“取出的3件产品中没有废品”；
，则 C表示“取出的3件产品中废品不少于2件”
12C6C19418?194?193(1) P(A)???0.0855 3200?199?198C2003C194194?193?192(2) P(B)?3??0.912
C200200?199?1982130C6C194?C6C19490?194?120(3) P(C)???0.00223 3200?199?198C200
六、设P(A)?P(B)?P(C)?, P(AB)?P(AC)?0, P(BC)?131．求A, B, C至少有一事件发生的 4概率．
解：因为P(AB)?P(AC)?0，所以AB?V,AC?V，从而(AB)C?V可推出P(ABC)?0
设D表示“A, B, C至少有一事件发生”，则D?A?B?C，于是有
P(D)?P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(BC)?P(CA)?P(ABC) 11113??????0.75 33344
3 条件概率与概率乘法定理·全概率公式与贝叶斯公式
一、设P(A)?0.5,P(B)?0.4,P(A|B)?0.6,求P(AB),P(A|A?B)． 解：因为A?A(B?B)?AB?AB，所以P(A)?P(AB)?P(AB)，即
P(AB)?P(A)?P(AB)?P(A)?P(B)P(AB)?0.5?(1?0.4)?0.6?0.14
P(A|A?B)?P[A(A?B)]P(A)0.50.5????0.68
P(A?B)P(A)?P(B)?P(AB)0.5?(1?0.4)?0.360.74
二、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求他拨号不超过两次而接通所需电话的概率．若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？ 解：设A表示“第一次拨通”，B表示“第二次拨通”，C表示“拨号不超过两次而拨通”
111C9C1C111（1）P(C)?P(A)?P(BA)?1?1?1???0.2
C10C10C91010111A1A4A11（2）P(C)?P(A)?P(BA)?1?21???0.4
55A5A5
三、两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是
0.02．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多 一倍．
（1）求任意取出的零件是合格品的概率；
（2）如果任意取出的零件是废品，求它是第二台车床加工的概率． 解：设Ai表示“第i台机床加工的零件”(i?1,2)；B表示“出现废品”；C表示“出现合
格品”
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概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率
（1）P(C)?P(A1C?A2C)?P(A1C)?P(A2C)?P(A1)P(CA1)?P(A2)P(CA2) ?21?(1?0.03)??(1?0.02)?0.973 331?0.02P(A2)P(BA2)P(A2B)3???0.25 （2）P(A2B)?1P(B)P(A1)P(BA1)?P(A2)P(BA2)2?0.03??0.0233
四、猎人在距离100米处射击一动物，击中的概率为0.6；如果第一次未击中，则进行第二次射击，但由于动物逃跑而使距离变为150米；如果第二次又未击中，则进行第三次射击，这时距离变为200米．假定击中的概率与距离成反比，求猎人三次之内击中动物的概率．
k解：设Ai表示“第i次击中”(i?1,2,3)，则由题设，有P(A1)?0.6?，得k?60，从
100而有
k60k60P(A2)???0.4，P(A3)???0.3.
150150200200 设A表示“三次之内击中”，则A?A1?A1A2?A1A2A3，故有
P(A)?P(A1)?P(A1)P(A2)?P(A1)P(A2)P(A3)
?0.6?(1?0.6)?0.4?(1?0.6)?(1?0.4)?0.3?0.832 （另解）设B表示“猎人三次均未击中”，则
P(B)?(1?0.6)(1?0.4)(1?0.3)?0.168
故所求为 P(B)?1?P(B)?0.832
五、盒中放有12个乒乓球，其中有9个是新的．第一次比赛时从其中任取3个来用，比赛后仍放回盒中．第二次比赛时再从盒中任取3个，求第二次取出的都是新球的概率． 解：设Ai表示“第一次取得i个新球”(i?0,1,2,3)，则
3112C3C32C9C3C9108127 P(A1)? P(A0)?3??P(A)??233220220C12220C12C1203C3C984 P(A3)??3220C12设B表示“第二次取出的都是新球”，则
333331C927C8108C784C6P(B)??P(Ai)P(BAi)??3??3??3??3
220C12220C12220C12220C12i?01212714108784177616?????????0.146 ?22055220552204422011532400
4 随机事件的独立性·独立试验序列
一、一个工人看管三台车床，在一小时内车床不需要工人照管的概率：第一台等于0.9，第二台等于0.8，第三台等于0.7．求在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管的概率． 解：设Ai表示“第i台机床不需要照管”(i?1,2,3)，则
P(A1)?0.9 P(A2)?0.8 P(A3)?0.7
再设B表示“在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管”，则
B?A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3
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