发布时间 : 星期五 文章江苏省泰州中学2017届高三(上)摸底数学试卷(解析版)更新完毕开始阅读4f199120590216fc700abb68a98271fe910eafe2
13．已知实数x、y满足
，若不等式a（x2+y2）≥（x+y）2恒成立，则实数a
的最小值是 ．
【考点】简单线性规划；函数恒成立问题．
【分析】确定约束条件的平面区域，求得与原点连线的斜率的范围，再分离参数，利用函数的单调性，确定函数的最值，即可得到结论．
【解答】解：实数x、y满足的可行域是一个三角形，三角形的三个顶点分别
为（1，4），（2，4），
与原点连线的斜率分别为4，2，∴a（x2+y2）≥（x+y）2等价于a≥1+
∵∈[2，4] ∴≤+≤4+=∴a≥1+= ∴实数a的最小值是 故答案为：
14．设等比数列{an}满足公比q∈N*，an∈N*，且{an}中的任意两项之积也是该数列中的一项，若a1=281，则q的所有可能取值的集合为 ． 【考点】等比数列的通项公式．
【分析】依题意可求得该等比数列的通项公式an，设该数列中的任意两项为am，at，它们的积为ap，求得q=
，分析即可．
【解答】解：由题意，an=281qn﹣1，设该数列中的任意两项为am，at，它们的积为ap， 则为am?at=ap，即281qm﹣1?281qt﹣1=281?qp﹣1，（q，m，t，p∈N*）， ∴q=
，
故p﹣m﹣t+1必是81的正约数，
即p﹣m﹣t+1的可能取值为1，3，9，27，81， 即
的可能取值为1，3，9，27，81，
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所以q的所有可能取值的集合为{281，227，29，23，2}
二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知0＜α＜
＜β＜π且sin（α+β）=
，tan
=．
（1）求cosα的值； （2）证明：sinβ
．
【考点】两角和与差的正弦函数；同角三角函数间的基本关系；半角的三角函数． 【分析】（1）利用二倍角的正切公式可求得tanα，结合0＜α＜
即可求得cosα的值；
（2）由于β=（α+β）﹣α，利用两角差的正弦结合已知即可求得sinβ的值，从而使结论得证．
【解答】解：（1）将tan=代入tanα=得：tanα=
所以，又α∈（0，），
解得cosα=． （2）证明：∵0＜α＜∴
＜α+β＜
＜β＜π，
，
，又sin（α+β）=
，
所以cos（α+β）=﹣由（1）可得sinα=，
所以sinβ=sin[（α+β）﹣α]=×﹣（﹣）×=＞．
16．如图，正方形ABCD所在的平面与三角形CDE所在的平面交于CD，AE⊥平面CDE，且AB=2AE．
（1）求证：AB∥平面CDE；
（2）求证：平面ABCD⊥平面ADE．
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【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定． 【分析】（1）根据正方形对边平行可得AB∥CD，结合线面平行的判定定理可得AB∥平面CDE；
（2）由已知AE⊥平面CDE，可得AE⊥CD，结合正方形ABCD邻边垂直及线面垂直的判定定理可得CD⊥平面ADE，进而由面面垂直的判定定理可得平面ABCD⊥平面ADE 【解答】证明：（1）正方形ABCD中，AB∥CD， 又AB?平面CDE， CD?平面CDE，
所以AB∥平面CDE．
（2）因为AE⊥平面CDE， 且CD?平面CDE， 所以AE⊥CD，
又正方形ABCD中，CD⊥AD
且AE∩AD=A，AE，AD?平面ADE， 所以CD⊥平面ADE， 又CD?平面ABCD，
所以平面ABCD⊥平面ADE．
17．某企业投入81万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这
个产品期间第x个月的利润（单位：万元），为了获
得更多的利润，企业将每月获得的利润投入到次月的经营中，记第x个月的当月利润率
，例如：
．
（1）求g（10）；
（2）求第x个月的当月利润率g（x）；
（3）该企业经销此产品期间，哪个月的当月利润率最大，并求该月的当月利润率． 【考点】分段函数的应用；函数的最值及其几何意义． 【分析】（1）当1≤x≤20时，f（x）=1，易知f（1）=f（2）=f（3）=…=f（9）=f（10）=1，从而知
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（2）求第x个月的当月利润率，要考虑1≤x≤20，21≤x≤60时f（x）的值，代入
即可．
（3）求那个月的当月利润率最大时，由（2）得出的分段函数，利用函数的单调性，基本不等式可得，解答如下： 【解答】解：（1）由题意得：f（1）=f（2）=f（3）=…═f（9）=f（10）=1 g（x）=
=
=
．
（2）当1≤x≤20时，f（1）=f（2）═f（x﹣1）=f（x）=1 ∴g（x）=当21≤x≤60时， g（x）=
=
=
=
．
=
=
=
=
∴当第x个月的当月利润率
；
（3）当1≤x≤20时，此时g（x）的最大值为当21≤x≤60时，
是减函数，
当且仅当时，即x=40时，
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