2019年广州市普通高中毕业班综合测试(一)文科数学试题 联系客服

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函数

f(x)在

x?2a3处取得极大值

3?2a?4af????b.………………………………………………8分

327??由于对任意a??3,4?,函数f(x)在R上都有三个零点,

所以

?f???f??0???2a????0.?3?0即

?b?0,?3……………………………………………………………………10分 ?4a?b?0.??274a3?b?0.……………………………………………………………………………………解得?2711分

?4a3?4a34?33??4.………………因为对任意a??3,4?,b??恒成立,所以b??????2727?27?max13分

b的取值范围是

??4,0?.……………………………………………………………………14分

21.(本小题满分14分)

(本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识,考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法,以及推理论证能力和运算求解能力)

(1)解:依题意可得A(?1,0),B(1,0).…………………………………………………………………1分

y2设双曲线C的方程为x?2?1?b?0?,

b21?b2?5,即b?2. 因为双曲线的离心率为5,所以1所

线

C的方程为

y2x??1.……………………………………………………………………3分

42(2)证法1:设点P(x1,y1)、T(x2,y2)(xi?0,yi?0,i?1,2),直线AP的斜率为k(k?0),

线

AP的方程为

y?k(x?1),………………………………………………………………………4分

?y?k?x?1?,?………………………………………………………………………………5分 ?2y2?1.?x??4整理,得4?k2x2?2k2x?k2?4?0,

??解得

x??1或

4?k2x?4?k2.所以

4?k2x2?.…………………………………………………………6分

4?k24?k2同理可得,x1?.…………………………………………………………………………………24?k7分

x1?x2?1.……………………………………………………………………………………………8分

证法2:设点P(x1,y1)、T(x2,y2)(xi?0,yi?0,i?1,2), 则kAP?4分

因为kAP5分

y1y2,kAT?.…………………………………………………………………………x1?1x2?1y1y2y12y22?kAT,??所以,即.……………………………………22x1?1x2?1?x1?1??x2?1?y12y222?1,x2??1. 因为点P和点T分别在双曲线和椭圆上,所以x?4421

即y12?4x12?1,y22?41?x22.…………………………………………………………………6分

所以7分

????4?x12?1??x1?1?2?4?1?x22??x2?1?2,即

x1?11?x2?.……………………………………………………x1?1x2?1x1?x2?1.……………………………………………………………………………………………8分

证法3:设点P(x1,y1),直线AP的方程为y?4分

y1(x?1),………………………………………x1?1y1?y??x?1?,?x?1?1…………………………………………………………………………5分 ?2?x2?y?1.??4222222?整理,得?4(x?1)?yx?2yx?y?4(x?1)?0, 11111??4(x1?1)2?y12解得x??1或x?.…………………………………………………………………6

4(x1?1)2?y12分

114(x1?1)2?y12x?x?将y?4x?4代入x?,得,即. 222xx4(x1?1)?y1112121所以x1?x2?1.…………………………………………………………………………………………8分

(3)解:设点P(x1,y1)、T(x2,y2)(xi?0,yi?0,i?1,2),

则PA???1?x1,?y1?,PB??1?x1,?y1?.

222因为PA?PB?15,所以??1?x1??1?x1??y1?15,即x1?y1?16.…………………………

9分

y12?1,所以x12?4x12?4?16,即x12?4. 因为点P在双曲线上,则x?421

因为点P是双曲线在第一象限内的一点,所以1?x1?2.…………………………………………10分

111|AB||y2|?|y2|,S2?|OB||y1|?|y1|, 222122222222所以S1?S2?y2?y1??4?4x2???x1?1??5?x1?4x2.……………………………11

4因为S1?分

由(2)知,x1?x2?1,即x2?2设t?x1,则1?t?4,

1. x1S12?S22?5?t?设f?t??5?t?4. t4?2?t??2?t?4,则f??t???1?2?, 2ttt当1?t?2时,f??t??0,当2?t?4时,f??t??0, 所以函数f?t?在?1,2?上单调递增,在?2,4?上单调递减. 因为f?2??1,f?1??f?4??0,

22所以当t?4,即x1?2时,S1?S2??min?f?4??0.……………………………………………

12分

当t?2,即x1?2时,S1?S213分

22所以S1?S2的取值范围为?0,1?.……………………………………………………………………

?22?max?f?2??1.………………………………………………

14分

说明:由S1?S2?5?x1?4x2

22?22??5?4xx12?1,得?S12?S22?max?1,给1分.