发布时间 : 星期二 文章2016年东北三省四市教研联合体高考数学二模试卷(理科)(解析版)更新完毕开始阅读503aaec1fbb069dc5022aaea998fcc22bcd143c1
所以求二面角的余弦值为．
20．曲线
上任意一点为A，点B（2，0）为线段AC的中点．
（Ⅰ）求动点C的轨迹f（x）的方程；
（Ⅱ）过轨迹E的焦点F作直线交轨迹E于M、N两点，在圆x2+y2=1上是否存在一点P，使得PM、PN分别为轨迹E的切线？若存在，求出轨迹E与直线PM、PN所围成的图形的面积；若不存在，请说明理由．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 【分析】（Ⅰ）设出C，A的坐标，利用中点坐标公式把A的坐标用C的坐标表示，然后代入曲线方程求得动点C的轨迹方程；
（Ⅱ）假设存在点P（x0，y0），使得PM、PN分别为轨迹E的切线，设出M，N的坐标及直线MN的方程，联立直线方程与抛物线方程，得到M，N的横坐标的和与积，然后分别写出过M，N的切线方程，知x1，x2是方程
坐标，则可求得轨迹E与直线PM、PN所围成的图形的面积．
的两根，进一步求得P的
【解答】解：（Ⅰ）设C（x，y），A（m，n），则，
∴，
又，
∴所求方程为x2=4y；
（Ⅱ）假设存在点P（x0，y0），使得PM、PN分别为轨迹E的切线， 设M（x1，y1），N（x2，y2），直线MN的方程为y=kx+1， 联立
，
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得x2﹣4kx﹣4=0， 则
，
切线PM的方程为，
点P（x0，y0）代入化简得同理得
知x1，x2是方程
，
的两根，
．
则x1x2=4y0=﹣4．
∴y0=﹣1，代入圆方程得x0=0， ∴存在点P（0，﹣1）．
此时轨迹E与直线PM、PN所围成的图形的面积： S=
=1
．
21．已知函数f（x）=e1﹣xcosx，a∈R． （Ⅰ）判断函数f（x）在
上的单调性；
（Ⅱ）证明：?x∈[﹣1，]，总有f（﹣x﹣1）+2f′（x）?cos（x+1）＞0．
【考点】利用导数研究函数的单调性． 【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，根据x的范围，判断出f′（x）的符号，从而求出函数的单调性；
（Ⅱ）问题转化为证明数
，
，在
上恒成立，构造函
，求出g（x）的导数，判断出函数的
单调性，从而证出结论． 【解答】解：（I）由题f'（x）=﹣e1﹣x（cosx）﹣e1﹣xsinx=﹣e1﹣x（sinx+cosx）… 因为
所以f'（x）＜0… 所以函数f（x）在
上单调递减…
（II）f（﹣x﹣1）=ex+2?cos（﹣x﹣1）=ex+2?cos（x+1）． 而2f'（x）?cos（x+1）=﹣2e1﹣x（sinx+cosx）?cos（x+1），… 又因为
，所以cos（x+1）＞0．…
要证原不等式成立，只要证ex+2﹣2e1﹣x（sinx+cosx）＞0，
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只要证ex+2＞2e1﹣x（sinx+cosx）， 只要证首先构造函数因为
=，在
，
上恒成立．…
， ，
可得，在x∈[﹣1，0]时，g'（x）≤0，即g（x）在[﹣1，0]上是减函数， 在所以，在所以，
时，g'（x）＞0，即g（x）在
上是增函数，…
上，g（x）min=g（0）=0，所以g（x）≥0．
，等号成立当且仅当x=0时．…
，
其次构造函数h（x）=e2x+1﹣（2x+2），因为h'（x）=2e2x+1﹣2=2（e2x+1﹣1）， 可见
时，h'（x）≤0，即h（x）在时，h'（x）＞0，即h（x）在
所以在
上，
上是减函数，
上是增函数，
，所以h（x）≥0， 时．… ，
所以，e2x+1≥2x+2，等号成立当且仅当综上所述，
因为取等条件并不一致， 所以所以
，在
上恒成立，
，总有f（﹣x﹣1）+2f'（x）?cos（x+1）＞0成立．…
请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-1：几何证明选讲] 22．已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，且BC=CD，其对角线AC与BD相交于点M．过点B作⊙O的切线交DC的延长线于点P． （1）求证：AB?MD=AD?BM；
（2）若CP?MD=CB?BM，求证：AB=BC．
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【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的性质． 【分析】（1）利用等腰三角形的性质、角分线定理，即可证明结论；
（2）证明∠PBC=∠BCA，利用∠PBC=∠BAC，证明∠BAC=∠BCA，即可得出结论． 【解答】证明：（1）由BC=CD可知，∠BAC=∠DAC， 由角分线定理可知，
=
，即AB?MD=AD?BM得证．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（2）由CP?MD=CB?BM， 可知
=
，又因为BC=CD，所以
=
所以PB∥AC．所以∠PBC=∠BCA 又因为∠PBC=∠BAC 所以∠BAC=∠BCA
所以AB=BC﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴
为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，且曲线C的左焦点F
在直线l上．
（Ⅰ）若直线l与曲线C交于A、B两点．求|FA|?|FB|的值； （Ⅱ）设曲线C的内接矩形的周长为P，求P的最大值． 【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程． 【分析】（I）求出曲线C的普通方程和焦点坐标，将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程利用根与系数的关系和参数的几何意义得出； （II）设矩形的顶点坐标为（x，y），则根据x，y的关系消元得出P关于x（或y）的函数，求出此函数的最大值．
【解答】解：（I）曲线C的直角坐标方程为x2+3y2=12，即∴曲线C的左焦点F的坐标为F（﹣2∵F（﹣2，0）在直线l上，
，0）．
．
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