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式中，Near和Far是常数。对于透视投影，场景中所有投影均位于以视点为顶点，连接视点与屏幕四角点为棱边的没有底面的正四棱锥内。当屏幕离视点太近或太远时，物体因变得太大或太小而不可识别。在观察坐标系内定义视域四棱锥的zv向近剪切面和远剪切面分别为Near和Far，经zv向裁剪后的视域正四棱锥转化为正四棱台，也称为观察空间或视景体，如图19所示。
yvzv=Farzv=NearxvOvzv
图19 透视投影的观察空间
第7章 自由曲线与曲面
重点： Bezier曲线的定义；de Casteljau算法；Bezier曲面；B样条曲面； 难点：Bezier曲线的拼接；
第7章重点学习指导：
1. Bezier曲线的定义
给定n+1个控制点Pi（i＝0，1，2??n），则n次Bezier曲线定义为
p(t)??PiBi,n(t) ，t∈[0，1]
i?0n式中，Pi（i＝0，1，2??n）是控制多边形的n+1个控制点。控制多边形是连接n条边构成的多边形。Bi,n(t)是Bernstein基函数，其表达式为
Bi,n(t)?n!iiti(1?t)n?i?Cnt(1?t)n?i ，（i＝0，1，2??n）
i!(n?i)!式中00＝1，0!＝1。
从式（7-1）可以看出，Bezier曲线是控制多边形的控制点关于Bernstein基函数的加权和。
三次Bezier曲线写为
p(t)?t3?t2??13?3?3?63t1????330?00?1?1??P0??P?0????1? ，t∈[0，1] 0??P2????0??P3?2. de Casteljau算法
依次对原始控制多边形的每一边执行同样的定比分割，所得的分点就是第一级递推生成的中间顶点Pi1（i＝0,1,?，n-1），对由这些中间顶点构成的控制多边形再执行同样的定比分割，得到第二级递推生成的中间顶点Pi2（i＝0,1,?，n-2），重复进行下去，直到r＝n，得到一个中间顶点P0n，该点的轨迹即为Bezier曲线上的点P(t)。
三次Bezier曲线递推如下
?P01(t)?(1?t)?P00(t)?t?P10(t)?100?P1(t)?(1?t)?P1(t)?t?P2(t)?P1(t)?(1?t)?P0(t)?t?P0(t)23?2
?P02(t)?(1?t)?P01(t)?t?P11(t)?211?P1(t)?(1?t)?P1(t)?t?P2(t)
2P03(t)?(1?t)?P02(t)?t?P1(t)
图示如下：
P01P11P202P1P02P01P30P21P00P30
（a）绘制t=1/3的点
0P1P11P20P01P02P032P1P21P00P30
（b）绘制t=2/3的点
0P1P20P00P303(c) P 点的运动轨迹 0图20 de Casteljau递推算法
3. Bezier曲面
Bezier曲面是由Bezier曲线拓广而来，以两组正交的Bezier曲线控制点构造空间网格来生成曲面。m×n次Bezier曲面的定义为
p(u,v)???Pi,jBi,m(u)Bj,n(v) i?0j?0mn （u，v）∈[0，1]×[0，1] （7-15）
式中，Pi,j（i＝0，1，?，m；j＝0，1，?，n）是（m+1）×（n+1）个控制点。和
Bi,m(u)Bj,n(v)是Bernstein基函数。
P2,3P1,3P2,2P0,3P0,2P0,1P1,1P1,0P2,1P2,0P3,0P0,0P3,2P3,3P3,1
图21 双三次Bezier曲面及其控制网格
依次用线段连接点列Pi,j（i＝0，1，?，m；j＝0，1，?，n）中相邻两点所形成的空间网格称为控制网格。当m＝3，n＝3时，由4×4＝16个控制点构成控制网格，如图21所示，其相应的曲面称为双三次Bezier曲面。 4. 三次B样条曲线
给定m+n+1个控制点Ph（h＝0，1，2，?，m+n），n次B样条曲线段的参数表达式为
pi,n(t)??Pi?kNk,n(t) t?[0,1]
k?0ni= 0,1,2,?,m；k=0,1,2,?,n
式中， Nk,n(t)为B样条基函数，其形式为
1n?kNk,n(t)??(?1)jCnj?1(t?n?k?j)n
n!j?0其中，Cn?1?j(n?1)!
j!(n?1?j)!上式为n次B样条曲线的第i段曲线（i＝0，1，2，?，m）。连接全部曲线段（m+1段）所组成的整条曲线称为n次B样条曲线。依次用线段连接控制点Pi＋k（k＝0，1，2，?，n）组成的多边形称为B样条曲线在第i段的控制多边形。
可以看出，B样条曲线是分段构成的，所以控制多边形对曲线的控制灵活直观。若给定m+n+1个控制点，可以构造一条n次B样条曲线，它是由m+1段n次曲线首尾相接而成，而每段曲线则由n+1个顶点所构造。由于n次B样条曲线可以达到n-1阶连续性，在工程设计中，二次B样条曲线和三次B样条曲线应用得较为广泛。 5. 双三次B样条曲面
B样条曲面是B样条曲线的二维推广，给定(m＋1)×(n+1)个控制点Pi,j(i=0,1,?,m；j=0,1,?,n)，m×n次B样条曲面的定义为
p(u,v)???Pi,jNi,m(u)Nj,n(v)i?0j?0mn ，（u，v）∈[0，1]×[0，1] (7-29)
式中，Pi,j（i＝0，1，?，m；j＝0，1，?，n）是（m+1）×（n+1）个控制点。和
Ni,m(u)Nj,n(v)是B样条基函数。
依次用线段连接点列Pi，j（i＝0，1，?，m；j＝0，1，?，n）中相邻两点所形成的空
间网格称为控制网格。如果m=n=3，则由4×4＝16个顶点构成控制网格，其相应的曲面称为双三次B样条曲面。如图22所示。
P2,3P1,3P0,3P0,2P0,1P1,2P1,1P1,0P3,2P2,2P3,3P3,1P2,1P2,0P3,0P0,0图22 16个控制点的双三次B样条曲面
第7章难点学习指导： 1. Bezier曲线的拼接