发布时间 : 星期四 文章4-2-高阶线性方程解一般理论、基本解组更新完毕开始阅读504bee0df7ec4afe04a1dfd4
4.1 高阶线性方程一般理论(General Theory of Higher order Linear ODE)
[教学内容] 1. 介绍高阶线性微分方程一般形式; 2.介绍高阶线性微分方程初值问题解的存在唯一性定理; 3. 介绍线性微分方程解的叠加原理（Superposition Theory);4. 介绍高阶线性方程解线性相关和线性无关性概念和判定；5.介绍高阶线性方程通解结构定理；6. 介绍刘维尔公式及其应用.
[教学重难点] 重点是知道并会运用线性方程的叠加原理、高阶线性方程的通解结构； 难点是如何判定线性方程解线性无关性 [教学方法] 预习1、2；讲授3 [考核目标]
认识高阶线性微分方程一般形式; 2. 知道线性方程解线性无关的概念; 3. 会判定函数和线性方程解的线性无关性;4. 知道齐次线性方程通解结构和非齐次线性方程通解结构. 5.知道刘维尔公式及其应用.
1. 认识n阶齐次线性微分方程和非齐次线性微分方程.
dnxdn?1xdx称n?a1(t)n?1???an?1(t)?an(t)x?0为n阶齐次线性微分方程; dtdtdtdnxdn?1xdx称n?a1(t)n?1???an?1(t)?an(t)x?f(t)为n阶非齐次线性微分方程，其中f(t)dtdtdt为非零函数.
线性方程柯西问题解的存在唯一性定理：考察上述n阶非齐次线性微分方程，若
ai(t), f(t), i?1,2,?,n都是[a, b]上连续函数，则对?t0?[a,b]和任意n个实数
dixx0,x1,?,xn?1，方程(**)存在满足初始条件x(t0)?x0, x(t0)?idt(i)t?t0?xi的唯一解
x??(t), t?[a,b].
声明：以下总假设方程（*）和（**）满足柯西问题解的存在唯一性定理条件.
2. 齐次线性方程(*)解的叠加原理、函数的线性无关性、Wronsky行列式、方程（*）的通解结构 (证明细节参见教材)
（1）叠加原理：设x1(t),x2(t)为齐次线性微分方程（*）的解函数，则
αx1(t), βx2(t), x1(t)?x2(t), αx1(t)?βx2(t)都是齐次线性微分方程(*)的解.
（2）设x1(t),x2(t),?,xk(t)都是定义在[a, b]上函数，若存在不全为零的常数c1,c2,?,ck使得c1x1(t)?c2x2(t)??ckxk(t)?0, t?[a,b]，则称x1(t),x2(t),?,xk(t)在区间[a, b]上线性相关，否则则称x1(t),x2(t),?,xk(t)在区间[a, b]上线性无关.
（3）设x1(t),x2(t),?,xn(t)都是定义在[a, b]上具有k-1阶连续导函数的函数，则称如下行
x1(t)列式W(t)?W[x,2(t)?,,xn(t)]?1(t)xx2(t)x2'(t)?(n?1)??xn(t)xn'(t)?(n?1)x1'(t)?x1(n?1)为这些函数
(t)x2(t)?xn(t)Wronsky行列式.
（4）函数组线性相关的必要条件：设x1(t),x2(t),?,xn(t)都是定义在[a, b]上具有k-1阶连续导函数的函数，若它们线性相关，则它们的Wronsky行列式恒为零.
（5）方程（*）解函数线性无关充要条件：设x1(t),x2(t),?,xn(t)都是定义在[a, b]上方程（*）的解函数，则它们线性无关?它们的Wronsky行列式在[a, b]上处处不为零. （6）若n个函数x1(t),x2(t),?,xn(t)都是方程（*）的解函数且线性无关，则称其构成了方程（*）的一个基本解组.
（7）齐次线性方程（*）的通解结构定理：设x1(t),x2(t),?,xn(t)构成了方程（*）的一个基本解组，则方程（*）的任一解?(t)可表为?(t)?定，i?1,2,?,n.
（8）由齐次线性方程的叠加原理和通解结构定理知，方程（*）的所有解函数构成了一个n维的线性空间.
3. 非齐次线性方程的通解结构定理
考察非齐次线性方程（**），设?(t)为方程（*）的一个特解，x1(t), x2(t),?, xn(t)为方程（*）的一个基本解组，则方程（**）的任一解x(t)可表为x(t)?由初始条件确定.
4. 例题讲解
?cx(t)，其中常数ciii?1ni由初始条件确
?c x(t)??(t)，其中ciii?1ni?t2, t?0?0, t?0, x2(t)??2例40. 证明函数组x1(t)??在实直线R上线性无关，但它们的
t,t?0??0, t?0Wronsky行列式恒等于0，这是否和教材P124定理4矛盾？如果不矛盾，它该例说明了什
么？
解：当t?0时，W[x1(t),x2(t)]?x1(t)x2(t)x1'(t)x2'(t)??t22t00?0.
当t?0时，W[x1(t),x2(t)]?x1(t)x2(t)x1'(t)x2'(t)?0t202t?0.
这说明Wronsky行列式恒等于0. 考察方程c1x1(t)?c2x2(t)?0, t?R. 当t?0时，上述方程为c1 t?0，得到c1?0； 当t?0时，上述方程为c2 t?0，得到c2?0. 这说明函数组x1(t), x2(t)在R上线性无关.
这是否和教材P124定理4并不矛盾！原因是定理4中函数组为齐次线性方程的解函数.
例41. 验证x1?e, x2?et?t22为方程x''?x?0的基本解组，并求出满足初始条件
d2xx(0)?1, x'(0)?1的特解，其中x''?2.
dt解：直接代入验证知，e?e?0, e?ett?t?t?0，因此，x1?et, x2?e?t为方程的两个解
etet函数. 下面验证它们是线性无关的. W[x1,x2]?t?te?t?e?t??2?0，因此，由解函数线性
t?t无关判定定理知，x1?e, x2?e是线性无关的. 因此，证x1?e, x2?e为方程
x''?x?0的基本解组. 方程的通解为x?c1et?c2e?t，c1,c2为任意常数.
由初始条件知，x(0)?c1e?c2e?c1?c2?1，x'(0)?c1e?c2e?c1?c2?1，解得
0000c1?1, c2?0，因此所求特解为x?et.
例42. （1）考察微分方程x''?q(t)x?0. 若?(t),ψ(t)为方程的任意两个解，则它们Wronsky行列式W[?(t),ψ(t)]?C（常数）.
d2x（2）Liouville公式：考察二阶齐次线性方程x''?a1(t)x'?a2(t) x?0，其中x''?2,
dtai(t)?C[a,b], i?1,2. 假设x1(t)为方程的一个非零解，则(a)函数x2(t)为方程的解充要条
件是W '?a1(t) W?0,其中W?W[. (b) 方程的通解为1(xtx)2(,t)x?c1x1(t)?c2x1(t)?1?t0?a1(s)dsedt，其中c1,c2为任意常数. 2x1(t)t（3）已知x?et是微分方程x''?q(t)x?0一个特解，试求该方程的通解，并确定函数q(t)？ 证明：（1）记W(t)?W[?(t),ψ(t)]，下证
dW?0. dt由行列式定义的函数的导数公式（参见《数学分析》下P124 习题8），我们得到
?dW?'ψ'?ψ???dt?'ψ'?''ψ''?q(t)?（2）仿照（1）可证（a）
ψ?q(t)ψ??q(t)?ψ?0. 得证. ?ψx1dWx1'x2'x1x2???x1'x2'x1''x2''?a1(t)x1'?a2(t)x1dt结论成立.
x2?a1(t)x2'?a2(t)x2t??a1(t)x1x2x1'x2'
（b）求解方程W '?a1(t) W?0得到，满足W(t0)?1的解W(t)?e?t0?a1(s)ds.
此时相应的x2(t)和x1(t)是线性无关的，它们构成了原齐次线性方程的基本解组，因为它们Wronsky行列式不为零. 改写W(t)?e?t0?a1(s)dstt为x1x2'?x1'x2?e??t0a1(s)dst，由x1(t)?0再次改写上述方程为
x1'1??t0a1(s)dsx2'?x2?e，这是一个一阶线性方程. 由常数变易公式得到，
x1x1x2?e?x1'(t)dtx1(t)(?e??x1'(t)dtx1(t)1??t0a1(s)ds1??t0a1(s)dsedt?C)?x1(?2e?C)，特别地，取C=0x1x1ttt得到解函数x2(t)?x1t?1??t0a1(s)dse. 因此，由齐次线性方程通解结构定理知，结论成立. 2x1（3）记x1(t)?e，由上述公式得到，x2(t)?ett?tt?t?e?2tdt?e?t. 因此，原方程一个基本解
组为e, e，于是所求通解为x(t)?c1e?c2e，ci, i?1,2为任意常数. 将x1(t)?e代入原方程得到，e?p(t)e?0，得到p(t)??1.
作业41. 证明非齐次线性微分方程的叠加原理：设x1(t),x2(t)分别为非齐次线性微分方程
tttdnxdn?1xdnxdn?1x?a1(t)n?1???an(t)x?f1(t)和n?a1(t)n?1???an(t)x?f2(t)的解. dtndtdtdtdnxdn?1x证明：x1(t)?x2(t)为方程n?a1(t)n?1???an(t)x?f1(t)?f2(t)的解.
dtdt
作业42. (1) 验证x1?cos(2t), x2?sin(2t)为方程x'' ?4 x?0的基本解组. (2) 验证x1?tcos(2ln t), x2?tsin(2ln t)为方程t x''?3 t x'?8 x?0的基本解组. 作业43. 已知x1?t为方程x''?222t1x'?x?0的一个非零解，运用Liouville公式求出1?t1?t方程一个基本解组，并求出满足初值条件x(2)?1, x'(2)?2的特解.
d2x思考44. （1）考察二阶齐次线性方程x''?a1(t)x'?a2(t) x?0，其中x''?2,
dtai(t)?C(a,b), i?1,2. 设x??(t)是方程在区间(a, b)上一个非零解（即x??(t)在区间(a,
b)上不恒等于0），试证解函数?(t)在区间(a, b)上只有简单零点（称满足t0?(a,b)且
?(t0)?0, ?'(t0)?0的零点为?(t)简单零点）. 并由此进一步证明，?(t)在任意有限闭区
间上至多有有限个零点，从而每一个零点都是孤立的.
d2x（2）考察二阶齐次线性方程x''?a1(t)x'?a2(t) x?0，其中x''?2,
dtai(t)?C(a,b), i?1,2. 若u(t), v(t)为方程的一个基本解组，则方程的系数函数a1(t), a2(t)由这个基本解组u(t), v(t)唯一确定且u(t), v(t)没有公共零点.