发布时间 : 星期日 文章2017-2018学年高中数学(苏教版)选修1-1讲学案：第二章 2.2 椭圆更新完毕开始阅读50589713cf2f0066f5335a8102d276a201296074
又x2＋y2可看作P(x，y)到原点的距离的平方， 所以(x2＋y2)max＝a2，(PF1·PF2)max＝b2， 11所以c2≤b2＝a2－c2≤3c2，即≤e2≤，
4212所以≤e≤. 2212答案：?，?
?22?
[例4] 某宇宙飞船的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，设地球半径为R，若其近地11
点、远地点离地面的距离分别大约是R、R，求此宇宙飞船运行的轨道方程．
153
[思路点拨] 根据条件建立坐标系，设出椭圆方程，构造方程，求得宇宙飞船运行的轨道方程．
[精解详析] 如图所示，以运行轨道的中心为原点，其与地心的连线为x轴建立坐标系，且令地心F2为椭圆的右焦点，则轨道方程为焦点x2y2
在x轴上的椭圆的标准方程，不妨设为2＋2＝1(a>b>0)，则地心F2的
ab坐标为(c,0)，其中a2＝b2＋c2，
与椭圆相关的应用问题 ?a－c＝R＋15，则?R
a＋c＝R＋，?3
R
?a＝5R，
解得?2
c＝?15R.
6
6?2?2?2642
∴b2＝a2－c2＝??5R?－?15R?＝45R. ∴此宇宙飞船运行的轨道方程为 x2y2
＋＝1. 362642
RR2545
[一点通] 解决此类问题，首先要根据条件建立平面直角坐标系，将实际问题转化为有关椭圆的问题，再将条件转化为a，b，c的关系，进而求出椭圆方程，解决其它问题．注意：①椭圆方程中变量的范围对实际问题的限制；②最后要将数学模型还原回实际问题作答．
7．某航天飞行控制中心对某卫星成功实施了第二次近月制动，卫星顺利进入周期为3.5 h的环月小椭圆轨道(以月球球心为焦点)．卫星远月点(距离月球表面最远的点)高度降至1 700 km，近月点(距离月球表面最近的点)高度是200
km，月球的半径约是1 800 km，且近月点、远月点及月球的球心在同一直线上，此时小椭圆轨道的离心率是________．
解析：可设小椭圆的长轴长为2a，焦距为2c，由已知得 2a＝1 700＋2×1 800＋200， ∴a＝2 750.
又a＋2c＝1 700＋1 800，∴c＝375. c3753∴e＝＝＝. a2 750223
答案：
22
8．已知某荒漠上F1、F2两点相距2 km，现准备在荒漠上开垦出一片以F1、F2为一条对角线的平行四边形区域，建农艺园．按照规划，平行四边形区域边界总长为8 km.
(1)试求平行四边形另两个顶点的轨迹方程； (2)问农艺园的最大面积能达到多少？
解：(1)以F1F2所在直线为x轴，F1F2的中垂线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则F1(－1,0)，F2(1,0)．设平行四边形的另两个顶点为P(x，y)，Q(x′，y′)，
则由已知得PF1＋PF2＝4.
由椭圆定义知点P在以F1、F2为焦点，以4为长轴长的椭圆上，此时a＝2，c＝1，则b＝3. x2y2
∴P点的轨迹方程为＋＝1(y≠0)，
43同理Q点轨迹方程同上．
(2)S?PF1QF2＝F1F2·|yP|≤2c·b＝23(km2)，
所以当P为椭圆短轴端点时，农艺园的面积最大为23 km2.
1．椭圆的顶点、焦点、中心坐标等几何性质与坐标有关，它们反映了椭圆在平面内的位
置．
2．椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率等几何性质与坐标无关，它们反映了椭圆的形状．
3．讨论与坐标有关的几何性质应先由焦点确定出椭圆的类型，不能确定的应分焦点在x轴上、y轴上进行讨论．
[对应课时跟踪训练(九)]
x2y2
1．(新课标全国卷Ⅱ改编)设椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是
abC上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为________．
解析：法一：由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝3m，故离心率ec2c|F1F2|3m3＝＝＝＝＝. a2a|PF1|＋|PF2|2m＋m3
b2
法二：由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，将x＝c代入椭圆方程可解得y＝±，所以|PF2|
ab2b2＝.又由∠PF1F2＝30°可得|F1F2|＝3|PF2|，故2c＝3·，变形可得3(a2－c2)＝2ac，等式两aa边同除以a2，得3(1－e2)＝2e，解得e＝
答案：
3
3
3
或e＝－3(舍去)． 3
1
2．(广东高考改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方
2程是__________________．
c＝1，??c1xy
解析：依题意，设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，所以?a＝2，ab
??c＝a－b，
2
2222
2
2
解得a2＝4，b2
＝3.
x2y2
答案：＋＝1
43
x2y2x2y2
3．曲线＋＝1与曲线＋＝1(k<9)的________相等．(填“长轴长”或“短轴
25925－k9－k长”或“离心率”或“焦距”)
解析：c2＝25－k－(9－k)＝16，c＝4. 故两条曲线有相同的焦距． 答案：焦距
x2y26
4．已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的离心率是，过椭圆上一点M作直线MA，MB分别交椭
ab3圆于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，则k1·k2的值为________．
解析：设点M(x，y)，A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，
2b2x222b2x1
则y＝b－2，y1＝b－2.
aa
2
2
y－y1y＋y1y2－y21b2c2
所以k1·k2＝·＝＝－2＝2－1
aax－x1x＋x1x2－x211
＝e2－1＝－，
31
即k1·k2的值为－.
31
答案：－
3
x2y23a
5．设F1，F2是椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1
ab2是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率是________．
3a
解析：设直线x＝与x轴交于点M，则∠PF2M＝60°.
23a
由题意知，F1F2＝PF2＝2c，F2M＝－c.
213a
在Rt△PF2M中，F2M＝PF2，即－c＝c.
22c3
∴e＝＝.
a43答案： 4
35 3
6．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率e＝，经过点A(，－2)，求椭圆的标准方程．
52解：设椭圆的标准方程为
x2y2754
＋＝1.① 2＋2＝1(a>b>0)，则ab4a2b23c33
由已知e＝，∴＝，∴c＝a.
5a55