发布时间 : 星期日 文章新北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形精品重点常考题型更新完毕开始阅读50c3307505a1b0717fd5360cba1aa81144318fea
1
∠ADE＝∠A′DE＝∠ADC＝45°，AE＝EG，BC＝CH，∴∠AED＝90°－∠ADE＝45°＝∠ADE，
2∴AE＝AD＝BC，∴EG＝CH；
(2)解：由折叠的性质可得∠FGE＝∠A＝90°，GF＝AF＝2. 由(1)可知∠ADE＝45°，
∴∠DFG＝90°－∠ADE＝45°＝∠ADE， ∴DG＝GF＝2，∴DF＝DG2＋FG2＝2， ∴AD＝AF＋DF＝2＋2.
由折叠的性质可知∠AEF＝∠GEF，∠BEC＝∠HEC， ∴∠AEF＋∠BEC＝90°. 又∵∠AEF＋∠AFE＝90°， ∴∠BEC＝∠AFE. 由(1)可知AE＝AD＝BC. 在△AEF与△BCE中，
?∠AFE＝∠BEC，?∠A＝∠B＝90°， ?AE＝BC，
∴△AEF≌△BCE(AAS)， ∴AF＝BE，
∴AB＝AE＋BE＝AD＋AF＝2＋2＋2＝22＋2. 三、解题技巧专题：中点问题答案
1．B 解析：连接AH，CH.∵∠BCD＝∠BAD＝90°，点H是BD的中点，∴∵点G是AC的中点，∴HG⊥AC，∴∠HGE＝90°.又∵∠GEH＝∠BEC＝80°，∴∠故选B.
第 13 页 共 18 页
AH＝CH＝1
2BD.
GHE＝10°.
2．3 解析：如图，连接AF.∵AD＝AB，F是BD的中点，∴AF⊥BD.又∵E是AC的中点，11
∴EF＝AC＝×6＝3.
22
1
3．45° 解析：如图，连接CM.∵∠ACB＝90°，M是AB的中点，∴CM＝AB.∵CE＝CF21
＝AB，∴CE＝CF＝MC，∴∠1＝∠E，∠2＝∠F.∵∠1＋∠E＝∠4，∠2＋∠F＝∠3，∴∠1＝21111
∠4，∠2＝∠3，∴∠1＋∠2＝(∠4＋∠3)＝×90°＝45°，即∠EMF＝45°. 2222
4．D 5.B
6．解：(1)四边形EFGH还是平行四边形．理由如下：如图，连接AC.∵E是AB的中点，
F是BC的中点，∴EF∥AC，EF＝AC.同理可得HG∥AC，HG＝AC，∴EF∥HG，EF＝HG，∴四边形EFGH是平行四边形；
(2)如图，连接BD.①当AC＝BD时，四边形EFGH是菱形．证明如下：由(1)可知四边形
1
212
EFGH是平行四边形，HG＝AC.∵F是BC的中点，G是CD的中点，∴FG＝BD.∵AC＝BD，∴HG＝FG，∴四边形EFGH是菱形；
②当AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形．证明如下：由(1)可知四边形EFGH是平行四边形，
1212
HG∥AC.∵AC⊥BD，∴HG⊥BD.∵F是BC的中点，G是CD的中点，∴FG∥BD，∴HG⊥GF，∴∠
第 14 页 共 18 页
HGF＝90°，∴四边形EFGH为矩形．
四、难点探究专题：特殊平行四边形中的综合性问题答案
1．C
2．B 解析：如图，设BE与AC的交点为P′，连接BD，P′D.∵点B与点D关于AC对称，∴P′D＝P′B，即P′D＋P′E＝P′B＋P′E＝BE.当点P位于点P′时，PD＋PE最小．∵正方形的面积为12，∴AB＝23.∵△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝23，即PD＋PE最小值为23.故选B.
3.3
4．4.8 解析：如图，连接PA.∵在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，∴BC2＝AB2＋AC2，∴∠BAC＝90°.又∵PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，∴∠AEP＝∠AFP＝90°，∴四边形PEAF11
是矩形，∴AP＝EF.当EF最小时，PA也最小，∴当AP⊥CB时，PA最小，∴AB·AC＝BC·AP，
22即AP＝
AB·AC6×8
＝＝4.8，∴线段EF的最小值为4.8. BC10
5．A 解析：当P在BC上运动时，y随x的增大而增大，根据图象得BC＝4.当P在CD11
上运动时，y的值不变，∴CD＝9－4＝5，∴AB＝5，∴S△ABC＝AB·BC＝×5×4＝10.故选A.
22
6．1 解析：易证四边形AMDN是平行四边形，当MN＝AD，即AE＝EM时，四边形AMDN是矩形．∵四边形ABCD为菱形，∴AD＝AB＝2，∴AE＝1.又∵∠DAB＝60°，∴△AEM为等边三
第 15 页 共 18 页
角形，∴AM＝1，即当AM为1时，四边形AMDN是矩形．
7．C 解析：如图，设OE与AB交于点M，OG与BC交于点N.∵四边形ABCD和EFGO是正方形，∴OB＝OC，∠OBM＝∠OCN＝45°，∠BOC＝∠EOG＝90°，∴∠BOM＝∠CON，∴△BOM≌△CON(ASA)，∴S△BOM＝S△CON，∴S四边形BNOM＝S△BOC，即两正方形的重合部分的面积始终不变．故选C.
8．(1)证明：如图①，延长ED交AG于点H.∵四边形ABCD与OEFG均为正方形，∴OA＝
OD，OG＝OE，∠AOG＝∠DOE＝90°，∴△AOG≌△DOE，∴∠AGO＝∠DEO.∵∠AGO＋∠GAO＝90°，∴∠DEO＋∠GAO＝90°，∴∠AHE＝90°，即DE⊥AG；
(2)解：①如图②，在旋转过程中，∠OAG′成为直角有以下两种情况：
11
a．α由0°增大到90°过程中，当∠OAG′为直角时，∵OA＝OD＝OG＝OG′，∴∠AG′
22
O＝30°，∴∠AOG′＝60°.∵OA⊥OD，∴∠DOG′＝90°－∠AOG′＝30°，即α＝30°；
b．α由90°增大到180°过程中，当∠OAG′为直角时，同理可求得∠AOG′＝60°，∴
α＝90°＋∠AOG′＝150°.
综上所述，当∠OAG′为直角时，α＝30°或150°； ②AF′长的最大值是2＋
2
，此时α＝315°. 2
1
9．(1)证明：如图①，连接BD.∵点E，H分别为边AB，DA的中点，∴EH∥BD，EH＝BD.
21
∵点F，G分别为边BC，CD的中点，∴FG∥BD，FG＝BD，∴EH∥FG，EH＝FG，∴中点四边形
2
EFGH是平行四边形；
第 16 页 共 18 页