发布时间 : 星期六 文章江苏省13市2015年中考数学试题分类解析汇编 专题16 操作型问题更新完毕开始阅读50f34c443086bceb19e8b8f67c1cfad6195fe998
【考点】作图(应用和设计作图);等腰三角形的性质;正方形的性质;分类思想的应用.
【分析】分?A是顶角,腰长是3;?A是顶角,底边长是3(底角在AD, AB上);?A是顶角,底边长是3(底角在BC, CD上);?A是底角,腰长是3;?A是底角,底边是3五种情况.
3. (2015年江苏扬州10分)如图,将YABCD沿过点A的直线折叠,使点D落到AB边上的点D'处,折痕交CD边于点E,连接BE.
(1)求证:四边形BCED'是平行四边形; (2)若BE平分∠ABC,求证:AB2?AE2?BE2.
【答案】证明:(1)如答图,
∵将YABCD沿过点A的直线AE折叠, ∴DE?D'E, ?1??2. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴DC∥AB. ∴?1??3.
∴?2??3. ∴D'E?AD'.∴DE?AD'. ∵YABCD,∴DC?AB.∴EC?D'B. ∴ECD'B. ∴四边形BCED'是平行四边形.
(2)如答图,
∵BE平分∠ABC,∴?4??5.
∵四边形BCED'是平行四边形,∴ED'∥CB. ∴?4??6.∴?5??6. 由(1)?2??3,∴?2??6??3??5?90?,即?AEB?90?. ∴在RtVABE中,由勾股定理,得AB2?AE2?BE2.
【考点】折叠问题;折叠对称的性质;平行四边形的判定和性质;平行的性质;等腰三角形的判定;三角形内角和定理;勾股定理.
【分析】(1)要证四边形BCED'是平行四边形,根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定,一方面,由四边形ABCD是平行四边形可有EC∥D'B;另一方面,由折叠对称的性质、平行的内错角相等性质、等腰三角形的等角对等边的性质可得EC?D'B,从而得证.
(2)要证AB2?AE2?BE2,根据勾股定理,只要VABE的?AEB?90?即可,而要证?AEB?90?,
一方面,由BE平分∠ABC可得?4??5(如答图,下同);另一方面,由ED'∥CB可得?4??6,从而得到
?5??6,结合(1)?2??3即可根据三角形内角和定理得到?AEB?90?,进而得证.
4. (2015年江苏常州10分)设ω是一个平面图形,如果用直尺和圆规经过有限步作图(简称尺规作图),画出一个正方形与ω的面积相等(简称等积),那么这样的等积转化称为ω的“化方”. (1)阅读填空
如图①,已知矩形ABCD,延长AD到E,使DE=DC,以AE为直径作半圆.延长CD交半圆于点H,以DH为边作正方形DFGH,则正方形DFGH与矩形ABCD等积. 理由:连接AH,EH.
∵AE为直径,∴∠AHE=90°,∴∠HAE+∠HEA=90°. ∵DH⊥AE,∴∠ADH=∠EDH=90° ∴∠HAD+∠AHD=90°
∴∠AHD=∠HED,∴△ADH∽ ▲ . ∴
ADDH2
,即DH=AD×DE. ?DHDE又∵DE=DC
∴DH= ▲ ,即正方形DFGH与矩形ABCD等积. (2)操作实践
平行四边形的“化方”思路是,先把平行四边形转化为等积的矩形,再把矩形转化为等积的正方形. 如图②,请用尺规作图作出与YABCD等积的矩形(不要求写具体作法,保留作图痕迹). (3)解决问题
三角形的“化方”思路是:先把三角形转化为等积的 ▲ (填写图形名称),再转化为等积的正方形. 如图③,△ABC的顶点在正方形网格的格点上,请作出与△ABC等积的正方形的一条边(不要求写具体作法,保留作图痕迹,不通过计算△ABC面积作图). (4)拓展探究
2
n边形(n>3)的“化方”思路之一是:把n边形转化为等积的n﹣1边形,…,直至转化为等积的三角形,
从而可以化方.
如图④,四边形ABCD的顶点在正方形网格的格点上,请作出与四边形ABCD等积的三角形(不要求写具体作法,保留作图痕迹,不通过计算四边形ABCD面积作图).
【答案】解:(1)△HDE;AD×DC.
(2)如答图1,矩形ANMD即为与YABCD等积的矩形.
(3)矩形.
如答图2,CF为与△ABC等积的正方形的一条边.
(4)如答图3,△BCE是与四边形ABCD等积的三角形.
,
【考点】阅读理解型问题;尺规作图(复杂作图);全等、相似三角形的判定和性质;平行四边形的性质;矩形的性质;正方形的性质;圆周角定理;转换思想和数形结合思想的应用.
【分析】(1)首先根据相似三角形的判定方法,可得△ADH∽△HDE;根据等量代换,可得DH=AD×DC,据此判断即可.
(2)过点D作DM⊥BC,交BC的延长线于点M,以点M为圆心,AD长为半径画弧,交BC于点N,连接
2
AN,则易证△DCM≌△ABN,因此,矩形ANMD即为与YABCD等积的矩形.
(3)三角形的“化方”思路是:先把三角形转化为等积的矩形,再转化为等积的正方形.
首先以三角形的底为矩形的长,以三角形的高的一半为矩形的宽,将△ABC转化为等积的矩形
BCMN;然后延长BC到E,使CE=CM,以BE为直径作圆.延长CM交圆于点F,则CF即为与△ABC等积的正方
形的一条边.
(4)连接AC,过点D作DE∥AC交BA的延长线于点E,连接CE,则△BCE是与四边形ABCD等积的三角形.
5. (2015年江苏淮安12分)阅读理解: